Discrete dynamische modellen > Hogere orde
123456Hogere orde

Uitleg

De rij van Fibonacci vormen de getallen: `1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...`
Elke term van deze rij (behalve de eerste twee) ontstaat door de twee voorgaande op te tellen. De bijpassende recursieformule is:

`u(t) = u(t-1) + u(t-2)` met `u(0) = 1` en `u(1) = 1`

In deze lineaire recursieformule wordt de voorgaande term en de term die aan de voorgaande voorafgaat gebruikt, daarom is dit een lineaire differentievergelijking van de tweede orde.

Het probleem met recursieformules is dat de rij vanaf het begin moet worden opgebouwd. Het is niet eenvoudig om de directe formule in dit geval te vinden. Als je naar deze rij kijkt, dan zie je dat er sprake is van een snelle groei. Het ligt daarom voor de hand om te veronderstellen dat een directe formule de vorm `u(t) = a * g^t` zou kunnen hebben, met `a != 0` en `g != 0` .
Vul je dit in de recursieformule in, dan krijg je: `a * g^t = a * g^(t-1) + a * g^(t-2)`
Beide zijden vermenigvuldigen met `g^2` geeft `a * g^(t+2) = a * g^(t+1) + a * g^(t)` en hieruit volgt `g^2 = g + 1` . Met de abc-formule vind je: `g = (1 + sqrt(5))/2 vv g = (1 - sqrt(5))/2`

Je vindt twee waarden voor `g` en `a` kan kennelijk van alles zijn (ongelijk aan `0` ). Maar directe formules zoals `u(t) = a * ((1 + sqrt(5))/2)^t` of `u(t) = a * ((1 - sqrt(5))/2)^t` leveren niet de gewenste rij van Fibonacci op.
Je krijgt de juiste rij door een combinatie van beide te proberen: `u(t) = a * ((1 + sqrt(5))/2)^t + b * ((1 - sqrt(5))/2)^t` , waarin je `a` en `b` berekent vanuit de gegeven startwaarden.

Deze directe formule is de oplossing van de differentievergelijking.

Opgave 1

Bekijk de rij van Fibonacci in de uitleg. De recursieve formule is `u(t) = u(t-1) + u(t-2)` met `u(0) = 1` en `u(1) = 1` .

a

Plot de tijdgrafiek van de rij van Fibonacci met `u(ntext(Min))={1,1}` .

b

Wat is de twintigste term van de rij?

In de uitleg wordt geprobeerd een directe formule bij deze lineaire differentievergelijkinsg van de tweede orde te maken.

c

Laat zien dat `u(t) = a * g^t` leidt tot `g^2 = g + 1` .

d

Laat zien hoe je hieruit `g` berekent.

e

Leg uit dat `u(t) = a * ((1 + sqrt(5))/2)^t` geen goede rij oplevert.

f

Bekijk nu `u(t) = a * ((1 + sqrt(5))/2)^t + b * ((1 - sqrt(5))/2)^t` . Bereken `a` en `b` vanuit de twee startwaarden en noteer de juiste directe formule voor de rij van Fibonacci.

Opgave 2

De rij `u(t) = 2*u(t-1) + 3*u(t-2)` met `u(0) = 1` en `u(1) = 2` is ook een lineaire differentievergelijking van de tweede orde.

a

Maak deze rij met de grafische rekenmachine.

b

Op dezelfde manier als voor de rij van Fibonacci kun je door `u(t) = a * g^t` te substitueren mogelijke waarden van `g` vinden. Welke waarden zijn dat?

c

Stel vervolgens een geschikte directe formule op voor deze rij.

Opgave 3

De rij `u(n) = a*u(n-1) + b*u(n-2)` is de algemene vorm van een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. Er zijn ook twee startwaarden nodig, bijvoorbeeld `u(0)` en `u(1)` .

a

In de uitleg wordt gesuggereerd dat hierbij een directe formule past van de vorm `u(n) = p * (g_1)^n + q * (g_2)^n` waarin `g_1` en `g_2` de oplossingen zijn van de vergelijking `g^2 = ag + b` . Bewijs dat dit waar is door deze uitdrukking voor `u(n)` te substitueren in de recursieve formule.

b

In het bewijs wordt verondersteld dat de vergelijking `g^2 = ag + b` twee oplossingen heeft. Is dat altijd het geval? Wanneer niet?

verder | terug