Dit is een lineaire differentievergelijking.
De bijbehorende rij divergeert.
De directe formule is: `u(t) = (4-5/(1-1,4))*1,4^t+5/(1-1,4) = 16,5 * 1,4^t - 12,5`
Dit is een kwadratische differentievergelijking van de eerste orde.
Uit een tijd- of webgrafiek blijkt dat de bijbehorende rij convergeert.
De grenswaarde is `8/13` .
Dit is een lineaire differentievergelijking van de eerste orde.
Uit een tijd- of webgrafiek blijkt dat de bijbehorende rij alternerend convergeert.
`v = text(-)0,85v+2` geeft `v = 40/37` , dus de grenswaarde is `40/37` .
De directe formule is: `u(t) = 6 34/37 * (text(-)0,85)^t + 1 3/37`
Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,4u(n-1)*(1-(u(n-1))/2000)` en `u(ntext(Min))={50}` .
De webgrafiek convergeert naar een snijpunt, er ontstaat een evenwichtssituatie.
`V` | `=` | `V + 0,4 * V * (1 - V/2000)` | |
`0,4V(1-V/2000)` | `=` | `0` | |
`V = 0` | `vv` | `V = 2000` |
Er zullen op den duur `2000` vissen in het meertje zitten.
Voer in:
`u(n)=u(n-1)+0,4u(n-1)*(1-(u(n-1))/2000)` en `u(ntext(Min))={10}` .
`v(n)=u(n-1)+0,4v(n-1)*(1-(v(n-1))/2000)` en `v(ntext(Min))={100}` .
Venster: `[0, 50]xx[0, 3000]` .
Hoe groter de beginhoeveelheid vissen, hoe sneller de grenswaarde wordt benaderd.
Hoe groter de beginhoeveelheid vissen, hoe sneller de grenswaarde wordt benaderd.
`Delta N_(t) = N_(t+1) - N_t = c * (5000 - N_(t))` , hieruit volgt `N_(t+1) = N_(t) - c * N_(t) + 5000c = (1 - c) * N_(t) + 5000c` .
`N_0 = 1000` en `N_1 = 1600` .
`1600 = 1000(1 - c) + 5000c` geeft `c=0,15` .
Uit de tijdgrafiek van `N` blijkt dat het aantal meervallen vanaf het begin steeds minder snel toeneemt.
Nee, de differentievergelijking is niet kwadratisch.
De karakteristieke vergelijking `g^2 = g + 6` geeft `g = 3 vv g = text(-)2` .
De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `u(t)=p*3^t+q*(text(-)2)^t` .
`u(0)=1` en `u(1)=1` dus `{ ({: p+q :} , = , 1), ( {: 3p-2 :} , =, 1):}` .
Dit geeft `p=0,6` en `q=0,4` .
De oplossing is: `u(t) = 0,6 * 3^t + 0,4 * (text(-)2)^t` .
De karakteristieke vergelijking
`g^2 = g - 6`
geeft geen reële waarde voor
`g`
.
Er is geen reële oplossing.
De karakteristieke vergelijking `g^2 = 6g - 9` geeft alleen `g = 3` .
De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `w(t) = (p + q*n) * 3^t` .
`w(0)=1` en `w(1)=1` dus `{ ({: p:} , = , 4),( {: 3(p+q) :} , = , 5):}` .
Dit geeft `p=4` en `q=text(-)2 1/3` .
De oplossing is: `w(t) = (4 - 2 1/3 t) * 3^t` .
`P(1)` | `=` | `P(0) + (0,20 - a*R(0))*P(0)` | |
`4500 + (0,20 - 300a)*4500` | `=` | `4725` | |
`a` | `=` | `0,0005` |
`R(1)` | `=` | `R(0) - (0,10 - b*P(0))*R(0)` | |
`300 - (0,10 - 4500b)*300` | `=` | `297` | |
`b` | `=` | `0,00002` |
`P = P + (0,20 - 0,0005*R)*P`
geeft
`R = (0,20)/(0,0005) = 400`
.
`R = R - (0,10 - 0.00002*P)*R`
geeft
`P = (0,10)/(0.00002) = 5000`
.
Bij deze waarden zal het aantal roofdieren en prooidieren niet veranderen. In dit
model worden die waarden (in gelijktijdige combinatie) nooit gehaald, er blijven schommelingen
in de aantallen.
Voer in:
`u(n)=u(n-1)+(0,2-0,0005v(n-1))*u(n-1)` en `u(ntext(Min))={4500}` .
`v(n)=v(n-1)-(0,1-0.00002u(n-1))*v(n-1)` en `u(ntext(Min))={300}` .
Tabel: er zijn dan `414` (of `413` als er naar beneden is afgerond) roofdieren.
`B(t) = B(t-1) + 0,05(500000 - B(t-1)) = 0,95B(t-1) + 25000` met `B(0) = 18000`
Voer in: `u(n)=0,95u(n-1)+25000` en `u(ntext(Min))={180000}` .
Tabel: `u(6)~~145686` .
Om 12:00 uur hebben `145686` mensen de reclame gehoord.
`B(t)` | `=` | `(18000 - 25000/(1 - 0,95)) * 0,95^t + 25000/(1 - 0,95)` | |
`` | `=` | `text(-)482000 * 0,95^t + 500000` |
`u(17)~~298466` mensen.
Aan `C_t = 0,6 * Y_(t-1) - 9` , met name aan de `t-1` .
`Y_t = EV_t = C_t + I_t = 0,6 * Y_(t-1) - 9 + 29 = 0,6 * Y_(t-1) + 20`
`Y_t = (Y_0 - 20/(1 - 0,6)) * 0,6^t + 20/(1 - 0,6) = (Y_0 - 50) * 0,6^t + 50`
.
Deze directe formule nadert voor grote waarden van
`t`
altijd naar
`Y_(oo) = 50`
mld euro.
De particuliere consumptie bedraagt
`80`
% van het nationaal inkomen minus de belastingafdracht van het voorgaande jaar. De
belastingafdracht is ongeveer
`1/3`
van het nationaal inkomen, minus
`400`
mld. Het nationaal inkomen is de som van de particuliere consumptie en de particuliere
investeringen en de overheidsuitgaven.
Je kunt afleiden dat
`Y_t = 0,53Y_(t-1) + 360`
.
Daaruit vind je
`Y_t ~~ 765,96 + 434,04 * 0,53^t`
.
Het nationaal inkomen benadert de
`765,96`
mld euro.
Met en vind je en .
en hieruit volgt het gestelde.
Omdat moet . Maak met de rekenmachine een tabel bij de differentievergelijking uit a. Je vindt bij en . Dus voor .
Als kleiner wordt dan wordt ook kleiner. Als kleiner wordt dan wordt ook kleiner. Als kleiner wordt dan neemt de groei van het nationaal inkomen af.
Je kunt ook zo redeneren:
Uit volgt dat bij het kleiner worden van ook afneemt, etc.
(bron: voorbeeldexamen vwo wiskunde A1,2 uit 1998)