Dit is een lineaire differentievergelijking.
De bijbehorende rij divergeert.

De directe formule is: `u(t) = (4-5/(1-1,4))*1,4^t+5/(1-1,4) = 16,5 * 1,4^t - 12,5`

Dit is een kwadratische differentievergelijking van de eerste orde.

Uit een tijd- of webgrafiek blijkt dat de bijbehorende rij convergeert.

De grenswaarde is `8/13` .

Dit is een lineaire differentievergelijking van de eerste orde.
Uit een tijd- of webgrafiek blijkt dat de bijbehorende rij alternerend convergeert.

`v = text(-)0,85v+2` geeft `v = 40/37` , dus de grenswaarde is `40/37` .

De directe formule is: `u(t) = 6 34/37 * (text(-)0,85)^t + 1 3/37`

Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,4u(n-1)*(1-(u(n-1))/2000)` en `u(ntext(Min))={50}` .

De webgrafiek convergeert naar een snijpunt, er ontstaat een evenwichtssituatie.

`V`	`=`	`V + 0,4 * V * (1 - V/2000)`
`0,4V(1-V/2000)`	`=`	`0`
`V = 0`	`vv`	`V = 2000`

Er zullen op den duur `2000` vissen in het meertje zitten.

Voer in:

`u(n)=u(n-1)+0,4u(n-1)*(1-(u(n-1))/2000)` en `u(ntext(Min))={10}` .

`v(n)=u(n-1)+0,4v(n-1)*(1-(v(n-1))/2000)` en `v(ntext(Min))={100}` .

Venster: `[0, 50]xx[0, 3000]` .

Hoe groter de beginhoeveelheid vissen, hoe sneller de grenswaarde wordt benaderd.

Hoe groter de beginhoeveelheid vissen, hoe sneller de grenswaarde wordt benaderd.

`Delta N_(t) = N_(t+1) - N_t = c * (5000 - N_(t))` , hieruit volgt `N_(t+1) = N_(t) - c * N_(t) + 5000c = (1 - c) * N_(t) + 5000c` .

`N_0 = 1000` en `N_1 = 1600` .

`1600 = 1000(1 - c) + 5000c` geeft `c=0,15` .

Uit de tijdgrafiek van `N` blijkt dat het aantal meervallen vanaf het begin steeds minder snel toeneemt.

Nee, de differentievergelijking is niet kwadratisch.

De karakteristieke vergelijking `g^2 = g + 6` geeft `g = 3 vv g = text(-)2` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `u(t)=p*3^t+q*(text(-)2)^t` .

`u(0)=1` en `u(1)=1` dus `{ ({: p+q :} , = , 1), ( {: 3p-2 :} , =, 1):}` .

Dit geeft `p=0,6` en `q=0,4` .

De oplossing is: `u(t) = 0,6 * 3^t + 0,4 * (text(-)2)^t` .

De karakteristieke vergelijking `g^2 = g - 6` geeft geen reële waarde voor `g` .
Er is geen reële oplossing.

De karakteristieke vergelijking `g^2 = 6g - 9` geeft alleen `g = 3` .

De oplossing van de differentievergelijking heeft dan de vorm: `w(t) = (p + q*n) * 3^t` .

`w(0)=1` en `w(1)=1` dus `{ ({: p:} , = , 4),( {: 3(p+q) :} , = , 5):}` .

Dit geeft `p=4` en `q=text(-)2 1/3` .

De oplossing is: `w(t) = (4 - 2 1/3 t) * 3^t` .

`P(1)`	`=`	`P(0) + (0,20 - a*R(0))*P(0)`
`4500 + (0,20 - 300a)*4500`	`=`	`4725`
`a`	`=`	`0,0005`

`R(1)`	`=`	`R(0) - (0,10 - b*P(0))*R(0)`
`300 - (0,10 - 4500b)*300`	`=`	`297`
`b`	`=`	`0,00002`

`P = P + (0,20 - 0,0005*R)*P` geeft `R = (0,20)/(0,0005) = 400` .
`R = R - (0,10 - 0.00002*P)*R` geeft `P = (0,10)/(0.00002) = 5000` .
Bij deze waarden zal het aantal roofdieren en prooidieren niet veranderen. In dit model worden die waarden (in gelijktijdige combinatie) nooit gehaald, er blijven schommelingen in de aantallen.

Voer in:

`u(n)=u(n-1)+(0,2-0,0005v(n-1))*u(n-1)` en `u(ntext(Min))={4500}` .

`v(n)=v(n-1)-(0,1-0.00002u(n-1))*v(n-1)` en `u(ntext(Min))={300}` .

Tabel: er zijn dan `414` (of `413` als er naar beneden is afgerond) roofdieren.

`B(t) = B(t-1) + 0,05(500000 - B(t-1)) = 0,95B(t-1) + 25000` met `B(0) = 18000`

Voer in: `u(n)=0,95u(n-1)+25000` en `u(ntext(Min))={180000}` .

Tabel: `u(6)~~145686` .

Om 12:00 uur hebben `145686` mensen de reclame gehoord.

`B(t)`	`=`	`(18000 - 25000/(1 - 0,95)) * 0,95^t + 25000/(1 - 0,95)`
``	`=`	`text(-)482000 * 0,95^t + 500000`

`u(17)~~298466` mensen.

Aan `C_t = 0,6 * Y_(t-1) - 9` , met name aan de `t-1` .

`Y_t = EV_t = C_t + I_t = 0,6 * Y_(t-1) - 9 + 29 = 0,6 * Y_(t-1) + 20`

`Y_t = (Y_0 - 20/(1 - 0,6)) * 0,6^t + 20/(1 - 0,6) = (Y_0 - 50) * 0,6^t + 50` .
Deze directe formule nadert voor grote waarden van `t` altijd naar `Y_(oo) = 50` mld euro.

De particuliere consumptie bedraagt `80` % van het nationaal inkomen minus de belastingafdracht van het voorgaande jaar. De belastingafdracht is ongeveer `1/3` van het nationaal inkomen, minus `400` mld. Het nationaal inkomen is de som van de particuliere consumptie en de particuliere investeringen en de overheidsuitgaven.
Je kunt afleiden dat `Y_t = 0,53Y_(t-1) + 360` .
Daaruit vind je `Y_t ~~ 765,96 + 434,04 * 0,53^t` .
Het nationaal inkomen benadert de `765,96` mld euro.

Met $s=\mathrm{0,3}$ en $k=2$ vind je $S_t=\mathrm{0,3}{Y}_t$ en $K_t=2Y_t$.
$K_{t+1}-K_t=I_t=S_t=\mathrm{0,3}{Y}_t=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,5}{K}_t$ en hieruit volgt het gestelde.

Omdat $Y_t>1000$ moet $K_t>2000$. Maak met de rekenmachine een tabel bij de differentievergelijking uit a. Je vindt bij $K_{16}\approx \mathrm{1871,5}$ en $K_{17}\approx \mathrm{2152,2}$. Dus voor $t=17$.

Als $s$ kleiner wordt dan wordt $I_t=S_t$ ook kleiner. Als $S_t$ kleiner wordt dan wordt $\Delta K_t$ ook kleiner. Als $\Delta K_t$ kleiner wordt dan neemt de groei van het nationaal inkomen af.
Je kunt ook zo redeneren:
Uit $\Delta K_t=\frac{s}{n}{Y}_t$ volgt dat bij het kleiner worden van $s$ ook $\Delta K_t$ afneemt, etc.