Onderzoek bij de differentievergelijkingen of de bijbehorende rijen convergeren of
divergeren en bereken de eventuele grenswaarden.
Geef ook bij de lineaire differentievergelijkingen een directe formule.
`u(t) = 5 + 1,4 u(t-1)` met `u(0) = 4`
`H_(t+1) = 2,6 * H_(t) * (1 - H_(t))` met `H_0 = 0,4`
`v(n) = text(-)0,85 v(n-1) + 2` met `v(0) = 8`
Een populatie vissen in een meertje wordt bij benadering voorspeld door het logistische groeimodel. De differentievergelijking luidt:
`V(t) = V(t-1) + 0,4 * V(t-1) * (1 - (V(t-1))/2000)`
waarin `V(t)` het aantal vissen als functie van de tijd in jaar voorstelt. De periode van dit model is `1` jaar. Op `t = 0` zijn er 50 van deze vissen in het meertje.
Plot de webgrafiek bij deze differentievergelijking.
Ontstaat er een evenwichtssituatie? Zo ja, hoeveel vissen zullen er dan op de lange duur in dit meertje zitten?
Plot een tijdgrafiek voor `V(t)` als `V(0) = 10` . Doe hetzelfde voor `V(0) = 100` . Welk verschil is er tussen beide grafieken?
Een viskwekerij heeft een bepaald bassin waarin maximaal `5000` meervallen kunnen leven. De kweker zet daarin `1000` meervallen uit. Het aantal meervallen zal dan groeien, maar omdat er maximaal `5000` meervallen in het bassin kunnen leven, zal de groei afnemen naarmate het aantal meervallen dichter bij de `5000` komt. De kweker veronderstelt daarom dat de toename van het aantal meervallen per jaar recht evenredig is met het verschil tussen het aantal meervallen en het maximale aantal van `5000` : `Delta N_(t) = c * (5000 - N_(t))` , waarin `N_t` het aantal meervallen na `t` jaar is.
Toon aan dat de veronderstelling van de kweker leidt tot een groeimodel met als bijbehorende differentievergelijking: `N_(t+1) = (1 - c) * N_(t) + 5000c`
Na een jaar zijn er ongeveer `1600` meervallen in het bassin. Bereken `c` .
Vanaf welk moment neemt het aantal meervallen minder snel toe?
Is er nu sprake van een logistisch groeimodel?
Bekijk de lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde. Welke zijn oplosbaar? Bepaal in dat geval de exacte oplossing.
`u(t) = u(t-1) + 6u(t-2)` met `u(0) = 1` en `u(1) = 1`
`v(t) = v(t-1) - 6v(t-2)` met `v(0) = 2` en `v(1) = 8`
`w(t) = 6w(t-1) - 9w(t-2)` met `w(0) = 4` en `w(1) = 5`
In een bepaald prooi-roofdier-model gelden de formules `P(t) = P(t-1) + (0,20 - a * R(t-1)) * P(t-1)` en `R(t) = R(t-1) - (0,10 - b * P(t-1)) * R(t-1)` . Op `t = 0` is het aantal prooidieren `P(0) = 4500` en het aantal roofdieren `R(0) = 300` . Een maand later op `t = 1` zijn die aantallen `P(1) = 4725` en `R(1) = 297` .
Laat zien dat dit betekent dat `a = 0,0005` en `b = 0,00002` .
Als `P(t) = P(t-1) = P` en `R(t) = R(t-1) = R` , dan is het aantal prooidieren en het aantal roofdieren in stabiel evenwicht. Bereken de waarden `P` en `R` . Welke betekenis hebben deze waarden?
Hoeveel roofdieren zijn er wanneer het aantal prooidieren voor het eerst na de start van deze tellingen een maximum bereikt?
Een bedrijf wil reclame maken via de lokale omroep. Deze omroep heeft elk uur een reclameblok waarin de reclame van dit bedrijf kan worden opgenomen. Om 6:00 uur 's ochtends begint de eerste uitzending. Er worden dan zo'n `18000` mensen bereikt van de `500000` die dagelijks op deze omroep afstemmen. Men denkt elk uur zo'n extra `5` % van de tot dan toe nog niet bereikte mensen de reclame te kunnen laten horen.
Stel een discreet dynamisch model op voor `B(t)` , het aantal mensen dat `t` uur na aanvang van de reclameblokken is bereikt.
Hoeveel mensen hebben op zijn laatst om 12:00 uur de reclame gehoord?
Stel een directe formule op voor de rij `B(t)` .
Het laatste reclameblok is om 23:00 uur. Hoeveel mensen hebben in de loop van deze dag de reclame gehoord?