Discrete dynamische modellen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Onderzoek bij de differentievergelijkingen of de bijbehorende rijen convergeren of divergeren en bereken de eventuele grenswaarden.
Geef ook bij de lineaire differentievergelijkingen een directe formule.

a

`u(t) = 5 + 1,4 u(t-1)` met `u(0) = 4`

b

`H_(t+1) = 2,6 * H_(t) * (1 - H_(t))` met `H_0 = 0,4`

c

`v(n) = text(-)0,85 v(n-1) + 2` met `v(0) = 8`

Opgave 2

Een populatie vissen in een meertje wordt bij benadering voorspeld door het logistische groeimodel. De differentievergelijking luidt:

`V(t) = V(t-1) + 0,4 * V(t-1) * (1 - (V(t-1))/2000)`

waarin `V(t)` het aantal vissen als functie van de tijd in jaar voorstelt. De periode van dit model is `1`  jaar. Op `t = 0` zijn er 50 van deze vissen in het meertje.

a

Plot de webgrafiek bij deze differentievergelijking.

b

Ontstaat er een evenwichtssituatie? Zo ja, hoeveel vissen zullen er dan op de lange duur in dit meertje zitten?

c

Plot een tijdgrafiek voor `V(t)` als `V(0) = 10` . Doe hetzelfde voor `V(0) = 100` . Welk verschil is er tussen beide grafieken?

Opgave 3

Een viskwekerij heeft een bepaald bassin waarin maximaal `5000`  meervallen kunnen leven. De kweker zet daarin `1000`  meervallen uit. Het aantal meervallen zal dan groeien, maar omdat er maximaal `5000` meervallen in het bassin kunnen leven, zal de groei afnemen naarmate het aantal meervallen dichter bij de `5000` komt. De kweker veronderstelt daarom dat de toename van het aantal meervallen per jaar recht evenredig is met het verschil tussen het aantal meervallen en het maximale aantal van `5000` : `Delta N_(t) = c * (5000 - N_(t))` , waarin `N_t` het aantal meervallen na `t` jaar is.

a

Toon aan dat de veronderstelling van de kweker leidt tot een groeimodel met als bijbehorende differentievergelijking: `N_(t+1) = (1 - c) * N_(t) + 5000c`

b

Na een jaar zijn er ongeveer `1600` meervallen in het bassin. Bereken `c` .

c

Vanaf welk moment neemt het aantal meervallen minder snel toe?

d

Is er nu sprake van een logistisch groeimodel?

Opgave 4

Bekijk de lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde. Welke zijn oplosbaar? Bepaal in dat geval de exacte oplossing.

a

`u(t) = u(t-1) + 6u(t-2)` met `u(0) = 1` en `u(1) = 1`

b

`v(t) = v(t-1) - 6v(t-2)` met `v(0) = 2` en `v(1) = 8`

c

`w(t) = 6w(t-1) - 9w(t-2)` met `w(0) = 4` en `w(1) = 5`

Opgave 5

In een bepaald prooi-roofdier-model gelden de formules `P(t) = P(t-1) + (0,20 - a * R(t-1)) * P(t-1)` en `R(t) = R(t-1) - (0,10 - b * P(t-1)) * R(t-1)` . Op `t = 0` is het aantal prooidieren `P(0) = 4500` en het aantal roofdieren `R(0) = 300` . Een maand later op `t = 1` zijn die aantallen `P(1) = 4725` en `R(1) = 297` .

a

Laat zien dat dit betekent dat `a = 0,0005` en `b = 0,00002` .

b

Als `P(t) = P(t-1) = P` en `R(t) = R(t-1) = R` , dan is het aantal prooidieren en het aantal roofdieren in stabiel evenwicht. Bereken de waarden `P` en `R` . Welke betekenis hebben deze waarden?

c

Hoeveel roofdieren zijn er wanneer het aantal prooidieren voor het eerst na de start van deze tellingen een maximum bereikt?

Opgave 6

Een bedrijf wil reclame maken via de lokale omroep. Deze omroep heeft elk uur een reclameblok waarin de reclame van dit bedrijf kan worden opgenomen. Om 6:00 uur 's ochtends begint de eerste uitzending. Er worden dan zo'n `18000`  mensen bereikt van de `500000` die dagelijks op deze omroep afstemmen. Men denkt elk uur zo'n extra `5` % van de tot dan toe nog niet bereikte mensen de reclame te kunnen laten horen.

a

Stel een discreet dynamisch model op voor `B(t)` , het aantal mensen dat `t` uur na aanvang van de reclameblokken is bereikt.

b

Hoeveel mensen hebben op zijn laatst om 12:00 uur de reclame gehoord?

c

Stel een directe formule op voor de rij `B(t)` .

d

Het laatste reclameblok is om 23:00 uur. Hoeveel mensen hebben in de loop van deze dag de reclame gehoord?

verder | terug