Differentiaalvergelijkingen > Continue dynamische modellen
123456Continue dynamische modellen

Voorbeeld 1

Als je een glas melk vanuit de koelkast (temperatuur `6`  °C) in een kamer zet waarin de temperatuur hoger is (kamertemperatuur bijvoorbeeld `20`  °C), dan wordt de melk warmer. Uit de natuurkunde is bekend dat de temperatuurtoename per tijdseenheid recht evenredig is met het temperatuurverschil met de omgeving. Daarom kun je een discreet dynamisch model maken voor het opwarmen van de melk dat er zo uitziet:

`T(t + Delta t) - T(t) = c * (20 - T(t)) * Delta t`

Zet deze differentievergelijking om in een differentiaalvergelijking door `Delta t rarr 0` te nemen.

> antwoord

Schrijf eerst de differentievergelijking als `(T(t + Delta t) - T(t))/(Delta t) = c * (20 - T(t))`

Neem nu de limiet voor `Delta t rarr 0` en je vindt:

`T'(t) = c * (20 - T(t))` .

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 1.

a

Licht de differentievergelijking die is gegeven toe.

b

Waarom is het in dit model nu nog niet belangrijk in welke eenheid de tijd wordt gemeten?

c

Neem `t` in minuten, `c = 0,2` en `Delta t = 1` en bereken het verloop van de opwarming in de eerste `10`  minuten.

Opgave 7

Je haalt een fles cola uit de koelkast (temperatuur `8`  °C) en zet dit in een ruimte met een temperatuur van `19`  °C). Hierbij kun je een vergelijkbaar dynamisch model maken als in Voorbeeld 1.

a

Schrijf eerst de bijbehorende differentievergelijking op.

b

Als `t` wordt gemeten in minuten, is de evenredigheidsconstante gelijk aan `0,4` . Stel de bijpassende differentiaalvergelijking op.

verder | terug