Elk uur verdwijnt er `60/1000` deel van de chloorconcentratie. Gebruik verder je GR.

Elk minuut verdwijnt er `1/1000` deel van de chloorconcentratie. Gebruik verder je GR. Je vindt ongeveer `693` minuten, dat is `11` uur en `33` minuten.

`C(t+Delta t) = C(t) - 0,120*C(t)*Delta t` .

Gebruik je GR: `u(n) = u(n-1) - 0,120*u(n-1)` en `u(0)=1` .
Je vindt voor de halveringstijd iets minder dan `6` uur.

Die werkt bij rijen niet in stappen van `1/60` uur. Om dit op te lossen moet je overgaan naar een tijdseenheid van `1` minuut en de differentievergelijking aanpassen naar `C(t+1) = C(t) - 0,002*C(t)` .

Gebruik nu je GR en je vindt ongeveer `346` minuten, dat is `5` uur en `46` minuten.

`C(t+Delta t) = C(t) - 0,060*C(t)*Delta t` wordt `C(t+Delta t) - C(t) = text(-)0,060*C(t)*Delta t` en `(C(t+Delta t) - C(t))/(Delta t) = text(-)0,060*C(t)` .

Aan beide zijden de limiet nemen voor `Delta t rarr 0` geeft: `C'(t) = text(-)0,06*C(t)` .

De oplossing van een differentiaalvergelijking is een formule voor `C(t)` een functie van `t` dus die er aan voldoet.

`C'(t) = C(0)*text(-)0,06*text(e)^(text(-)0,06t)` .

Vul je dit en de gegeven functie in de differentiaalvergelijking in, dan krijg je `C(0)*text(-)0,06*text(e)^(text(-)0,06t) = text(-)0,06*C(0)*text(e)^(text(-)0,06t)` en hier staat zowel links als rechts van het isgelijkteken hetzelfde, welke waarde `t` ook heeft.

De concentratie chloor op `t = 0` , de randvoorwaarde dus.

De concentratie chloor op `t = 0` is `1` L/m³, dus `C(0) = 1` als je L/m³ als eenheid voor `C` kiest. Maar je kunt ook zeggen `C(0) = 0,001` en geen eenheid gebruiken.

`C'(t) = b*g^t * ln(g)` .

Vul je dit en de gegeven functie in de differentiaalvergelijking in, dan krijg je `b*g^t * ln(g) = text(-)0,06*b*g^t` en hier staat zowel links als rechts van het isgelijkteken hetzelfde, welke waarde `t` ook heeft, als `ln(g) = text(-)0,06` . Dit betekent dat dan `g = text(e)^(text(-)0,06)`

`C(t) = 1*text(e)^(text(-)0,06t)`

`C(t) = 1*text(e)^(text(-)0,06t) = 0,5` geeft `t = (ln(0,5))/(text(-)0,06) ~~ 11,55` uur.

`C(t) = 2*text(e)^(text(-)0,06t) = 1` geeft ook weer `t = (ln(0,5))/(text(-)0,06) ~~ 11,55` uur.

`C(t) = 2*text(e)^(text(-)0,06t) = 0,5` geeft ook weer `t = (ln(0,25))/(text(-)0,06) ~~ 23,10` uur, dus dubbel zo lang.

De temperatuurtoename is `Delta T = T(t + Delta t) - T(t)` en die is een veelvoud van het temperatuurverschil `T(t) - 20` met de omgeving in stappen van `Delta t` . Dat veelvoud wordt uitgedrukt door de vermenigvuldigingsfactor `c` .

De constante `c` zal af hangen van de tijdseenheid en die constante is nog niet vastgelegd.

Gebruik de GR. Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,2(20-u(n-1))` met `u(0)=6` .

`T(t + Delta t) - T(t) = c * (19 - T(t)) * Delta t` .

`T'(t) = 0,4*(19 - T(t))`

Controleer eerst de afgeleide van `T` . Vul die vervolgens samen met `T(t)` in de d.v. in en bewerk het rechterlid van de vergelijking die je in het voorbeeld ziet. Ga na, dat er rechts van het isgelijkteken exact hetzelfde komt te staan als er links staat, welke waarde `t` ook heeft.

`T(t) = 20 - a * text(e)^(text(-)0,2t)`

Je weet dan `T(0) = 6` en dat betekent: `20 - a*text(e)^0 = 6` . Dit geeft `a = 14` .

`T(t) = 20 - 14 * text(e)^(text(-)0,2t) = 12` geeft `text(e)^(text(-)0,2t) = 8/14` .

Hiermee vind je `t = text(-)2ln(8/14) ~~ 2,80` minuten.

Omdat `C(t + Delta t) - C(t) = text(-)0,002*C(t)*Delta t` , krijg je `C'(t) = text(-)0,002C(t)` .

`C(t) = C(0)*text(e)^(text(-)0,002t)` geeft `C'(t) = text(-)0,002*C(0)*text(e)^(text(-)0,002t)` .

Vul beide in de d.v. die je bij a hebt gevonden in. Je zult zien dat er links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde komt te staan.

`C(0) = 1` .

`text(e)^(text(-)0,002t) = 1/2` geeft `t = (ln(1/2))/(text(-)0,002) ~~ 346,6` minuten.

`H'(t) = 3*(t + H(t))`

`N'(t) = 5N(t) - 2(N(t))^2`

`f'(x) = x * f(x)`

Die afname is recht evenredig met de dikte van de gepasseerde laag materiaal, dus `Delta I(d) = text(-)k* I(d)` , waarin `k` de evenredigheidsconstante is.

Dan is de differentievergelijking `I(d+1) = I(d) - 0,2*I(d) = 0,8*I(d)` .

`I(1) = 0,8*I(0) = 80` , `I(2) = 0,8*I(0) = 64` , `I(3) = 0,8*I(2) = 51,2` , `I(4) = 0,8*I(3) = 40,96` , `I(5) = 0,8*I(4) = 32,768` .

`I(d) = I(0)*0,8^d`

`I(d) = 0,5*I(0)` geeft `0,8^d = 0,5` , dus `d = \ ^(0,8)log(0,5) ~~ 3,106` m.

`I(d + Delta d) = I(d) - 0,2 * I(d) * Delta d`

`I'(d) = text(-)0,2 * I(d)`

`I'(d) = text(-)0,2 * I(0) * text(e)^(text(-)0,2d)`

Vul dit samen met de formule voor `I(d)` in de d.v. in. Er staat dan door elke waarde van `d` links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde.

`I(d) = 100 * text(e)^(text(-)0,2d) = 50` geeft `d = (ln(0,5))/(text(-)0,2) ~~ 3,47` m.

`T(t) = T(t-1) - c*(T(t-1) - 20)` met `T(0) = 90`

GR: `u(n) = u(n-1) - 0,1(u(n-1)-20)` met `u(0)=90` .

`t`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`
`T(t)`	`90`	`83`	`76,7`	`71,03`	`65,927`	`61,3343`

Bekijk de rest van de tabel op je GR. Na `9` minuten.

De differentievergelijking wordt `T(t + Delta t) = T(t) - 0,1*(T(t) - 20) * Delta t` en dit geeft `T'(t) = 0,1*(T(t) - 20)` .

`T'(t) = text(-)0,1k*text(e)^(text(-)0,1t)` en de formule voor `T(t)` in de d.v. invullen. Je vindt aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde voor elke waarde van `t` .

`T(t) = 20 + 70*text(e)^(text(-)0,1t) = 25` oplossen geeft `t = (ln(5/70))/(text(-)0,1) ~~ 26,39` . Dus na `27` minuten.

`y_1(t) = 0` voldoet niet aan `y_1(0) = 1` .

`y_2(t) = 1` en `y'_2(t) = 0` invullen geeft `1 = 0` .

`y_3(t) = t+1` en `y'_3(t) = 1` invullen geeft `1 = t*(t+1)` en dat geldt niet voor elke `t` .

`y_4(t) = cos(t)` en `y'_4(t) = text(-)sin(t)` invullen geeft `cos(t) = text(-)t sin(t)` en dat geldt niet voor elke `t` .

`y'_5(t) = c*t*text(e)^(0,5t^2)` en `y_5(t) = c * text(e)^(0,5t^2)` invullen in de d.v. geeft: `c*t*text(e)^(0,5t^2) = t * c * text(e)^(0,5t^2)` en dit klopt voor elke `t` .

Uit `y_5(0) = c * text(e)^0 = 1` volgt dat `c = 1` .

`M(t + Delta t) = M(t) + (12 - c*M(t)) * Delta t` met `M(0) = 0` .

`M'(t) = 12 - c*M(t)`

`M'(t) = k * text(e)^(text(-)ct)` en `M(t)` invullen geeft `k * text(e)^(text(-)ct) = 12 - (12 - k*text(e)^(text(-)ct))` en dit klopt voor elke waarde van `t` .

Je krijgt nu `M(t) = 20/3*(12 - k*text(e)^(text(-)0,15t))` .

Uit `M(0) = 20/3 * (12 - k) = 0` volgt `k = 12` .

`M(t) = 20/3*(12 - k*text(e)^(text(-)0,15t))` heeft een horizontale asymptoot van `M = 20/3 * 12 = 80` . Dus er zit op den duur `80` mg medicijn in het lichaam.

`H'(t) = (H(t))/t`

`H'(t) = a` en `H(t)` invullen in de d.v. geeft `a = (a*t)/t` en dit klopt voor elke `t != 0` .

`a = 5`