Differentiaalvergelijkingen > Continue dynamische modellenVerwerken
Bepaal de differentiaalvergelijkingen bij de volgende differentievergelijkingen:
`H(t + Delta t) = H(t) + 3*(t + H(t))*Delta t`
`N(t + Delta t) = N(t) + 5 * Delta t * N(t) - 2 * Delta t * (N(t))^2`
`f(x + Delta x) = f(x) + x * f(x) * Delta x`
Als het licht door een bepaald materiaal (bijvoorbeeld een glasplaat) gaat, neemt de intensiteit ervan voortdurend af. Die intensiteitsafname is recht evenredig met de intensiteit aan het begin van een gepasseerde laag materiaal. Noem de intensiteit van het licht `I(d)` waarin `d` de dikte van de gepasseerde laag materiaal is in m. Bekijk eerst wat er gebeurt in stappen van `Delta d = 1` m.
Laat zien, dat dan geldt: `I(d + 1) = I(d) - k * I(d)` , waarin `k` een evenredigheidsconstante is die afhangt van het materiaal.
Neem aan dat `k = 0,2` en `I(0) = 100` bereken `I(1)` , `I(2)` , `I(3)` , `I(4)` en `I(5)` .
Leidt een directe formule af voor `I(d)` en bereken met behulp daarvan na hoeveel m de lichtintensiteit is gehalveerd.
Neem nu een stapgrootte van `Delta d` . Ga nog steeds uit van `k = 0,2` .
Stel de bijpassende differentievergelijking op en leidt daaruit de bijbehorende differentiaalvergelijking af.
Toon aan dat functies van de vorm `I(d) = I(0) * text(e)^(text(-)0,2d)` oplossingen zijn van deze differentiaalvergelijking.
Neem weer `I(0) = 100` en bereken de waarde van `d` waarna de lichtintensiteit is gehalveerd..
Als je een kop koffie uit een koffiezetter haalt, dan is de koffie meestal gloeiend
heet. Neem aan dat de koffie
`90`
°C is.
Breng je die koffie in een kamer met een binnentemperatuur van
`20`
°C , dan koelt hij af. De temperatuurafname van de koffie is recht evenredig met
het temperatuurverschil met de omgeving.
Gebruik voor de tijd (min) de variabele
`t`
en voor de temperatuur van de koffie (°C) de variabele
`T`
. Neem om te beginnen een stapgrootte van
`Δt=1`
minuut.
Stel een passende modelformule op; `c` is de evenredigheidsconstante.
Neem `c=0,1` .
Maak voor de eerste vijf minuten een tabel van de temperatuur van de koffie.
Bereken na hoeveel minuten de temperatuur van de koffie is gezakt tot onder de `50` °C.
Stel een differentiaalvergelijking bij dit probleem op, neem weer `c=0,1` .
Toon aan dat functie van de vorm `T(t) = 20 + k*text(e)^(text(-)0,1t)` oplossingen zijn van deze differentiaalvergelijking.
Gebruik `T(0) = 90` en bereken na hoeveel tijd de temperatuur van de koffie `25` °C is geworden.
Gegeven is de differentiaalvergelijking `y'(t) = t * y(t)` . Er geldt `y(0)=1` .
Laat zien dat de volgende functies geen oplossingen van deze differentiaalvergelijking zijn: `y_1(t) = 0` , `y_2(t) = 1` , `y_3(t) = t+1` en `y_4(t) = cos(t)` .
Functies van de vorm `y_5(t) = c * text(e)^(0,5t^2)` zijn oplossing van deze differentiaalvergelijking. Laat dit zien en bepaal voor welke waarde van `c` dan ook aan de randvoorwaarde `y(0) = 1` is voldaan.
Een patiënt krijgt via een infuus een medicijn toegediend met een constante snelheid van `12` mg/uur. Het lichaam breekt dit medicijn af met een snelheid die recht evenredig is met de al in het bloed aanwezige hoeveelheid medicijn. Noem de in het bloed aanwezige hoeveelheid medicijn `M(t)` , waarbij `t` de tijd in uren is en `M(0) = 0` mg.
Stel voor dit proces een passende differentievergelijking op.
Leid uit de gevonden differentievergelijking een differentiaalvergelijking af.
Laat zien dat `M(t) = 1/c * (12 - k*text(e)^(text(-)ct))` een oplossing van deze differentiaalvergelijking is.
Neem `c=0,15` en bereken `k` vanuit de randvoorwaarde.
Hoeveel medicijn zit er op de lange duur in het lichaam?