Differentiaalvergelijkingen > Continue dynamische modellenVoorbeeld 2
Als je een glas melk vanuit de koelkast (temperatuur `6` °C) in een kamer zet waarin de temperatuur hoger is (kamertemperatuur bijvoorbeeld `20` °C), dan wordt de melk warmer. Uit de natuurkunde is bekend dat de temperatuurtoename per tijdseenheid recht evenredig is met het temperatuurverschil met de omgeving. Daarom kun je een continu dynamisch model maken voor het opwarmen van de melk dat er zo uitziet:
`T'(t) = c * (20 - T(t))`
Aan deze differentievergelijking voldoen functies van de vorm `T(t) = 20 - a * text(e)^(text(-)ct)` , waarin `a` een constante is. Laat zien dat dit klopt.
Door differentiëren vind je `T'(t) = ac*text(e)^(text(-)ct)` .
Vul nu `T'(t)` en `T(t)` in de differentiaalvergelijking in. Je vindt:
`ac*text(e)^(text(-)ct) = c * (20 - (20 - a*text(e)^(text(-)ct)))`
Ga na, dat aan beide zijden van het isgelijkteken voor elke waarde van `t` hetzelfde staat.
Bekijk
Laat zien dat de gegeven functie inderdaad aan de differentiaalvergelijking voldoet.
Neem `t` in minuten en `c = 0,2` . Welke serie oplossingen heeft de differentiaalvergelijking dan?
Hoe kun je `a` berekenen?
Bereken vervolgens de tijd die nodig is om de melk een temperatuur van `12` °C te laten bereiken.
De snelheid waarmee in een zwembad gechloord water wordt vervangen door schoon water, heet de spoelsnelheid. Ga uit van een spoelsnelheid van `2` m3 per minuut en een beginconcentratie van `1` L/m3.
Stel de bijbehorende differentiaalvergelijking op.
Laat zien dat bij deze differentiaalvergelijking functies van de vorm `C(t) = C(0)*text(e)^(text(-)0,002t)` passen
Bereken `C(0)` .
Bereken vervolgens de tijd die nodig is om de chloorconcentratie te halveren.