Differentiaalvergelijkingen > Continue dynamische modellenUitleg
In een zwembad is op zeker moment de chloorconcentratie `1` L/m3. Dat is te hoog en dus wordt het water ververst. Elk uur wordt `60` m3 water vervangen door `60` m3 schoon water. Er zit in totaal `1000` m3 water in het zwembad.
Noem de chloorconcentratie
`C(t)`
waarin
`t`
de tijd in uren is en
`C`
in L/m3.
Ga ervan uit dat het schone water zich onmiddellijk met al het badwater vermengt,
zodat
`C(t)`
in het hele zwembad steeds op een bepaald tijdstip hetzelfde is.
Elk uur wordt de chloorconcentratie met
`Delta C(t) = 0,060*C(t)`
verminderd.
Dan geldt de modelvergelijking: `C(t+1) = C(t) - 0,060*C(t) = 0,940*C(t)`
De chloorconcentratie op `t=0` (als het verversen van het water begint) is `C(0)` .
Voer deze formule in op de grafische rekenmachine. Uit de grafiek of de tabel blijkt dat de halveringstijd ongeveer `11` uur is.
In werkelijkheid wordt er echter voortdurend water ververst, dit gebeurt niet in tijdstappen. Die tijdstappen moeten kleiner worden, naar `0` naderen.
Neem je de tijdstap bijvoorbeeld `Delta t` uur dan wordt `Delta C(t) = 0,060*C(t)*Delta t` en de modelvergelijking `C(t+Delta t) = C(t) - 0,060*C(t)*Delta t` .
Deze modelvergelijking kun je schrijven als `C(t+Delta t) - C(t) = text(-)0,060*C(t)*Delta t` .
En dus als: `(C(t+Delta t) - C(t))/(Delta t) = text(-)0,060*C(t)` .
Nu is `lim_(Delta t rarr 0) (C(t+Delta t) - C(t))/(Delta t) = C'(t)` .
Als `Delta t rarr 0` wordt de modelvergelijking `C'(t) = text(-)0,060*C(t)` .
Zo'n vergelijking noem je een differentiaalvergelijking.
Bekijk in
Licht toe hoe je aan de differentievergelijking `C(t+1) = C(t) - 0,060*C(t)` komt en laat zien dat de halveringstijd van de chloorconcentratie dan iets meer dan `11` uur is.
Laat zien dat de differentievergelijking nu `C(t+1) = C(t) - 0,001*C(t)` wordt. Bereken de halveringstijd nauwkeuriger.
In het zwembadprobleem waren de instroomsnelheid en de uitstroomsnelheid beide `60` m3 per uur. Neem nu eens aan dat die instroom/uitstroomsnelheid gelijk is aan `120` m3 per uur.
Stel de bijbehorende differentievergelijking voor willekeurige stapgrootte `Delta t` op.
Bepaal de bijbehorende halveringstijd als `Delta t = 1` .
Je wilt de bijbehorende halveringstijd bepalen als `Delta t = 1/60` . Waarom gaat dit niet met de differentievergelijking bij b en de grafische rekenmachine? Laat zien hoe je dit kunt oplossen.
Je ziet in
Licht toe hoe je aan de differentiaalvergelijking `C'(t) = text(-)0,060*C(t)` komt.
Het verloop van `C(t)` wil je weten, wat is dus de oplossing van zo'n differentiaalvergelijking?