In een zwembad is op zeker moment de chloorconcentratie `1` liter/m3. Dat is te hoog en dus wordt het water ververst. Elk uur wordt `60` m3 water vervangen door `60` m3 schoon water. Er zit in totaal `1000` m3 water in het zwembad.
Hiervoor heb je de differentiaalvergelijking `C'(t) = text(-)0,060*C(t)` afgeleid, met `t` in uren.
Je wilt weten hoe `C(t)` verloopt, dus een formule voor `C(t)` opstellen die voor elke waarde van `t` voldoet aan de differentiaalvergelijking. Dat is voor de meeste differentiaalvergelijkingen niet eenvoudig. Maar je hebt op je grafische rekenmachine gezien dat de differentievergelijking met stapgrootte `1` een exponentieel verval laat zien. Bovendien lijkt de exponentiële functie het meest op zijn afgeleide.
Neem je bijvoorbeeld `C(t) = text(e)^(text(-)0,06t)` dan is `C'(t) = text(-)0,06*text(e)^(text(-)0,06t) = text(-)0,06*C(t)` voor elke waarde van `t` .
De functie `C(t) = text(e)^(text(-)0,06t)` is een oplossing van de differentiaalvergelijking. Maar beslist niet de enige oplossing.
Ga na dat alle functies van de vorm `C(t) = C(0)*text(e)^(text(-)0,06t)` met `C(0)` een constante, oplossing zijn van deze differentiaalvergelijking.
Vanuit de randvoorwaarde dat de concentratie `1` liter/m3 is op `t=0` , kun je `C(0)` bepalen.
In
Bepaal de afgeleide van `C(t)` en laat zien dat de functies `C(t)` voor elke waarde van `t` voldoen aan de differentiaalvergelijking.
Wat stelt `C(0)` voor in deze situatie?
Hoe groot is `C(0)` in de beschreven situatie?
Ook functies van de vorm `C(t) = b*g^t` zijn oplossing van de differentiaalvergelijking `C'(t) = text(-)0,060*C(t)` .
Bepaal de afgeleide van `C(t)` en laat zien dat de functies `C(t)` voor elke waarde van `t` voldoen aan de differentiaalvergelijking als je voor `g` de juiste waarde kiest.
Neem `C(0) = 1` L/m3? Welke oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking past daar bij?
Bereken nu de halveringstijd vanuit de gevonden oplossing.
Bereken de halveringstijd als de randvoorwaarde is dat de concentratie chloor op `t = 0` dubbel zo hoog is.
Hoe lang duurt het bij de nieuwe randvoorwaarde tot de concentratie chloor weer onder de `0,5` L/m3 is?