`(f(x+Delta x) - f(x))/(Delta x) = x + f(x)` geeft `f(x + Delta x) = f(x) + (x + f(x))*Delta x`

Ga verder op de manier van de uitleg:

`f(0,4) = f(0,3 + 0,1) = f(0,3) + (0,3 + f(0,3))*0,1 = 0,0641`

`f(0,5) = f(0,4 + 0,1) = f(0,4) + (0,4 + f(0,4))*0,1 = 0,11051`

enz.

Nee, helaas niet, je moet telkens opnieuw de methode van Euler toepassen.

Vul `f'(x) = a` en `f(x) = ax+b` in en je krijgt: `a = x + ax + b` .

Hier staat voor elke waarde van `x` aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde als `a = text(-)1` en `b = text(-)1` .

Dus `y = text(-)x - 1` is een oplossing.

Je hebt bij de vorige opgave al gezien dat er ook een oplossing is waarvan de grafiek door `(0, 0)` gaat.

Vul `f'(x) = text(-)1 + a text(e)^x` en `f(x)` in en je krijgt: `text(-)1 + a text(e)^x = x + text(-)x - 1 + a text(e)^x` .

Hier staat voor elke waarde van `x` aan beide zijden van het isgelijkteken hetzelfde.

`f(x) = text(-)x - 1 - 1 text(e)^x`

Maak hierbij een tabel op `[0, 1]` met stapgrootte `0,1` .

Differentievergelijking: `C(t + Delta t) = C(t) + (1 - C(t))*Delta t` .

`C(0) = 0,5` , `C(0,2) = 0,6` , `C(0,4) = 0,68` , etc.

Maak een tabel, de functiewaarden gaan `1` benaderen.

`C(t) = 1 + a*g^(text(-)t)` en `C'(t) = text(-)a*g^(text(-)t)*ln(g)` invullen:

`1 + a*g^(text(-)t) = 1 - text(-)a*g^(text(-)t)*ln(g)` en `C(0)=1+a=0,5` .

Dit lukt alleen als `a = text(-)0,5` en `g = text(e)` .

Vergelijk de berekende uitkomsten met de hellingen van de bijbehorende lijnelementen in de figuur.

`(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)1 + 4 = 3`

`y = text(-)x - 1`

Maak de grafiek van deze functie op je GR en vergelijk hem met de grafiek in de applet.

Doen.

Daar is altijd `C'(t) = 0` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = 1 - 4 = text(-)3`

`y = 1`

Functies van de vorm `C(t) = 1 + a*text(e)^(text(-)t)` .

`T(0,6) = T(0,4) + 0,15 * (20 - T(0,4)) * 0,2 = 6,8742 + 0,15*13,1258*0,2 = 7,267974`

`T(0,8) = T(0,6) + 0,15 * (20 - T(0,6)) * 0,2 ~~ 7,64993478`

`T(1,0) = T(0,8) + 0,15 * (20 - T(0,8)) * 0,2 ~~ 8,020436737`

Je kunt je rekenmachine laten doorrekenen.

Je vindt `T(2) ~~ 9,7127` .

De stapgrootte groter maken.

De stapgrootte kleiner maken.

Differentievergelijking: `H(t+Delta t) = H(t) - 0,05H(t)*Delta t` .

`H(0)=100` en `H(0,1) = H(0) - 0,05*H(0)*0,1 = 99,5` , enzovoorts.

Je vindt `H(1) = 95,11101305...`

`H(t) = H(0) * g^t` en `H'(t) = H(0) * g^t * ln(g)` invullen geeft `ln(g) = text(-)0,05` en dus `g = text(e)^(text(-)0,05)` . De gegeven randvoorwaarde is `H(0) = 100` .

Werkelijke waarde `H(1) = 100 * text(e)^(text(-)0,05 * 1) ~~ 95,123` .

Het verschil is `~~ 0,012` .

Doen.

Doen, bekijk het voorbeeld.

Dat kan met de GR, maar ook met behulp van de afgeleide van de gevonden functie.

Doen. Alle lijnelementen hebben een negatieve helling omdat je bij een vervalproces uitgaat van `H(t) gt 0` en `H'(t)` het product is van `H(t)` met een negatief getal.

Ze hebben allemaal dezelfde `H` -waarde.

De formule is `H = 100 * text(e)^(text(-)0,05t)` .

Doen.

Bij `y = f(x) = 1` hoort `f'(x) = 0` . Beide invullen in de d.v. levert aan beide zijden van het isgelijkteken `0` op, dit klopt dus voor elke `x` .

In het voorbeeld zie je hoe dit moet.

Werk met GeoGebra. Ga ook na, dat deze oplossingsfunctie de vorm heeft die in het voorbeeld wordt genoemd.

Ze lopen dan bijna verticaal.

Doe dit in GeoGebra.

Functies van de vorm `y = sqrt(x) + c` .

Hierbij hoort `y' = 1/(2sqrt(x))` .

Als je dit in de d.v. invult, dan zie je dat beide zijden gelijk zijn voor elke toegestane `x` -waarde.

`f(x + Delta x) = f(x) + sin(f(x))*Delta x`

`f(1) = f(0) + sin(f(0))*1 = 1 + sin(1) ~~ 1,0174524`

`f(0,05) = f(0) + sin(f(0))*0,05 ~~ 1,001746` , etc.

Dit levert uiteindelijk op: `f(1) ~~ 1,017452` . Het verschil is heel erg klein.

In `(1, 1)` : `f '(x) = 2` .

In `(4, 5)` : `f '(x) = text(-)10` .

In `(text(-)1, 1)` : `f '(x) = 2` .

Zie de figuur.

`y = 0` en `y = 3` .

`f(1)=1` en `f '(1) = f(1) * (3 - f(1))=1*1*(3-1)=2` .

Dus `y = 2x - 1` .

Teken de grafiek.

`f(x) = 3/(1 + 2text(e)^(text(-)3x))` geeft `f'(x) = (18text(e)^(text(-)3x))/((1 + 2text(e)^(text(-)3x)))^2` .

Dit invullen in de d.v. geeft een gelijkheid voor elke `x` -waarde.

Alleen de dichtheid is constant.

`A = 4 pi r^2` en `V = 4/3 pi r^3` geeft `A = 4 pi (root[3]((3V)/(4pi)))^2 ~~ 4,84V^(2/3)` .

Uit `rho = m/V` volgt `V = m/(rho)` .

Dus is `A ~~ 4,84(m/(rho))^(2/3) = (4,84)/((rho)^(2/3)) * m^(2/3)` .

De snelheid van het massaverlies is `m'(t)` .

Dit is recht evenredig met de oppervlakte `m'(t) = k * (4,84)/((rho)^(2/3)) * m^(2/3)` .

Stel `k * (4,84)/((rho)^(2/3)) = text(-)c` en je hebt de d.v. gevonden.

De differentievergelijking wordt `m(t + Delta t) = m(t) - 0,01 * (m(t))^(2/3) * Delta t` .

Je vindt ongeveer `7,43` gram.

Bekijk het richtingsveld, cirkels lijken er goed in te passen.

GeoGebra maakt een halve cirkel met middelpunt `(0, 0)` .

`y = sqrt(r^2 - x^2)` en `(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)2x * (r^2 - x^2)^(1 1/2)` invullen in de d.v. geeft een gelijkheid voor elke `x` -waarde.

Alleen de tweede past.

Rechte lijnen door `(0, 0)` , behalve de lijn `x = 0` .

`y = ax` en `(text(d)y)/(text(d)x) = a` invullen in de d.v. geeft een gelijkheid voor elke `x` -waarde.

`1` eenheid van stof C kost `2` eenheden van stof A en `1` eenheid van stof B. Dus `x` eenheden van stof C kosten `2x` eenheden van stof A en `x` eenheden van stof B. Op tijdstip `t` zijn er nog `a - 2*x(t)` eenheden van stof A en `b - x(t)` eenheden van B. Dat betekent dat `u = 2` en `v = 1` .

Als `x` toeneemt dan worden `a - 2*x(t)` en `b - x(t)` beide kleiner, dus `x'(t) = k * (a - 2 * x(t)) * (b - x(t))` wordt kleiner: de groeisnelheid (hier de geproduceerde hoeveelheid stof C per tijdseenheid) wordt kleiner.

Het lijnelementenveld kent twee oplossingen waarvoor `C'(t) = 0` , namelijk als `5 - 2x(t)=0 vv b - x(t) = 0` .

Eén van deze oplossingen is `x(t) = 2,5` , de andere is `x(t) = b` .

In het lijnelementenveld zie je dat dus `b=1,5` .

Oplossing door `(0, 0)` schetsen (maken met GeoGebra) en aflezen `x(3) ~~ 1,4` . Op `t=3` is dan nog `5 - 2 * 1,4 = 2,2` eenheden A over.

De oplossingssnelheid is `C'(t)` .

De oplossingssnelheid is recht evenredig met `C_v - C(t)` .

Dus `C'(t) = k * (C_v - C(t))` .

De differentievergelijking wordt `C(t + Delta t) = C(t) + k * (C_v - C(t)) * Delta t` .

Je vindt `C(20) ~~ 3,2968` .

`C(t)` en `C'(t) = text(-)Bk text(e)^(text(-)kt)` invullen in de d.v. geeft `A = 10` en `B = text(-)10` .

`C(t) = 10 - 10 text(e)^(text(-)0,02t)` geeft `C(20) ~~ 3,2968` .

Doen.

`y = 5` .

`f(x) = 5 - 4 * text(e)^(text(-)2x)`