Differentiaalvergelijkingen > DifferentiaalvergelijkingenVoorbeeld 1
Als je een glas melk vanuit de koelkast (temperatuur `6` °C) in een kamer zet waarin de temperatuur hoger is (kamertemperatuur bijvoorbeeld `20` °C), dan wordt de melk warmer. Uit de natuurkunde is bekend dat de temperatuurtoename recht evenredig is met het temperatuurverschil met de omgeving. Daarom kun je een continu dynamisch model maken voor het opwarmen van de melk dat er zo uitziet:
`T'(t) = c * (20 - T(t))` .
Neem aan dat `c = 0,15` , dat `t` in uren is en dat `T(0) = 6` °C. Benader met de methode van Euler de temperatuur na `2` uur.
Schrijf eerst de differentiaalvergelijking als `(T(t + Delta t) - T(t))/(Delta t) ~~ 0,15 * (20 - T(t))`
Zo krijg de differentievergelijking `T(t + Delta t) = T(t) + 0,15 * (20 - T(t)) * Delta t`
Je weet dat `T(0) = 6` °C en je wilt `T(2)` weten.
Kies als stapgrootte bijvoorbeeld `Delta t = 0,2` . Je krijgt:
`T(0,2) = T(0) + 0,15 * (20 - T(0)) * 0,2 = 6 + 0,15*14*0,2 = 6,42`
`T(0,4) = T(0,2) + 0,15 * (20 - T(0,2)) * 0,2 = 6,42 + 0,15*13,58*0,2 =` ` 6,8742`
En ga zo maar door...
Bekijk
Maak de benadering van `T(2)` af.
Hoe kun je sneller een benadering van `T(2)` vinden?
Hoe kun je een nauwkeuriger benadering krijgen?
Bekijk de differentiaalvergelijking `H'(t) = text(-)0,05 * H(t)` met `H(0) = 100` .
Benader `H(1)` met de methode van Euler. Neem een stapgrootte van `Delta t = 0,1` .
Als het goed is zie je bij a dat `H(t)` afneemt en wel steeds iets minder snel. Zo kom je op het idee dat `H(t) = H(0) * g^t` een mogelijke oplossingsfunctie zou kunnen zijn. Laat zien dat dit zo is en bepaal `g` .
Hoeveel wijkt je antwoord bij a af van de werkelijke waarde van `H(1)` ?