Differentiaalvergelijkingen > DifferentiaalvergelijkingenUitleg
Het vinden van de oplossingen van een differentiaalvergelijking, dus van functies die er aan voldoen, is vaak nog niet eenvoudig.
Bekijk bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking `f'(x) = x + f(x)` maar eens.
Het is niet gemakkelijk om functievoorschriften te bedenken die hier aan voldoen.
Maar je kunt wel functiewaarden benaderen door weer terug te gaan naar de bijbehorende
differentievergelijking.
Daarbij gebruik je
`f'(x) ~~ (f(x + Delta x) - f(x))/(Delta x)`
.
Daarmee schrijf je de differentiaalvergelijking als differentievergelijking:
`f(x + Delta x) = f(x) + (x + f(x))*Delta x`
En voor stapgrootte `Delta x` kun je een getal kiezen, bijvoorbeeld `Delta x = 0,1` .
Als je dan functiewaarden wilt berekenen van de oplossing die door `(0, 0)` gaat, begin je zo:
`f(0) = 0` (daar ga je van uit)
`f(0,1) = f(0 + 0,1) = f(0) + (0 + f(0))*0,1 = 0`
`f(0,2) = f(0,1 + 0,1) = f(0,1) + (0,1 + f(0,1))*0,1 = 0,01`
`f(0,3) = f(0,2 + 0,1) = f(0,2) + (0,2 + f(0,2))*0,1 = 0,031`
En zo kun je door gaan.
Dit wordt de methode van Euler genoemd. Hoe kleiner je stapgrootte, hoe beter de benaderingen,
maar hoe meer werk. Gelukkig bestaan er computerprogramma's die dit werk voor je kunnen
doen, zie het
Bekijk in
Laat zien hoe je aan de differentievergelijking komt.
Maak een tabel voor de functiewaarden `f(0)` , `f(0,1)` , `f(0,2)` , ..., `f(1,0)` en teken de bijpassende grafiek van `f` .
Er zijn ook oplossingen waarvoor niet geldt `f(0) = 0` , maar waarvoor `f(0)` een andere waarde heeft. Zijn deze grafieken altijd eenvoudig met behulp van transformaties uit de grafiek bij b af te leiden?
Bekijk de differentiaalvergelijking `f'(x) = x + f(x)` nog eens.
Is er een oplossing van de vorm `y = ax + b` ?
Waarom kan de oplossing die je bij a hebt gevonden nooit de enige zijn?
Laat zien dat deze differentiaalvergelijking oplossingen heeft van de vorm `f(x) = text(-)x - 1 + a text(e)^x` .
Welke van deze oplossingen gaat door `(0, 0)` ? Klopt dit met je tabel uit de vorige opgave?
Bekijk de differentiaalvergelijking `C'(t) = 1 - C(t)` .
Benader de oplossing van deze differentiaalvergelijking waarvoor geldt `C(0) = 0,5` met de methode van Euler. Kies een stapgrootte van `Delta t = 0,2` en maak een grafiek van deze oplossing.
Op grond van je grafiek kun je vermoeden dat de oplossing de vorm `C(t) = 1 + a*g^(text(-)t)` heeft. Laat zien dat dit klopt en bepaal de juiste waarden van `a` en `g`