Differentiaalvergelijkingen

Opgave 12

Gegeven is de differentiaalvergelijking `f '(x) = sin ( f (x))` met beginwaarde `f (0) = 1` .

a

Bepaal de bijbehorende differentievergelijking.

b

Neem een stapgrootte van `Delta x = 1` en benader daarmee `f (1)` .

c

Doe hetzelfde nog eens met een stapgrootte van `Delta x = 0,05` . Hoe groot is het verschil met het voorgaande antwoord?

Opgave 13

Gegeven is de differentiaalvergelijking `f '(x) = f(x) * (3 - f(x))` .

a

Bepaal `f '(x)` in de punten `(1, 1)` , `(4, 5)` en `(text(-)1, 1)` .

b

Maak met GeoGebra een lijnelementenveld van deze differentiaalvergelijking met `text(-)3 le x le 3` en `text(-)1 le y le 6` .

c

Welke twee horizontale lijnen voldoen aan deze differentiaalvergelijking?

d

Het lijnelement in `(1, 1)` is een deel van de raaklijn aan de grafiek van een oplossingsfunctie. Stel een vergelijking op van die raaklijn.

e

Teken in het richtingsveld de grafiek van de oplossingsfunctie door `(0, 1)` . Ga na dat hierbij de functie `f(x) = 3/(1 + 2text(e)^(text(-)3x))` hoort en laat met een berekening zien dat deze functie inderdaad aan de differentiaalvergelijking voldoet.

Opgave 14

Een bolvormig klontje ijs zal in huis buiten de koelkast smelten. In het begin zal het meeste ijs smelten omdat het oppervlak van het klontje dan het grootst is. Het lijkt niet onredelijk om aan te nemen dat de snelheid van het massaverlies van het klontje evenredig is met de oppervlakte ervan. Je wilt een rekenmodel voor het smelten opstellen onder deze aanname.

a

Welke van de volgende grootheden zijn in dit probleem constant en welke niet?

oppervlakte `A`
volume `V`
straal `r`
massa `m`
dichtheid `rho = m/V`

b

Laat met behulp van de formules de oppervlakte en de inhoud van een bol zien, dat voor een bol geldt: `A ~~ 4,84V^(2/3)` .

Neem voor de constante dichtheid van het ijs `0,9` kg/m³.

c

Geef een formule voor het verband tussen de oppervlakte `A` en de massa `m` van het ijsklontje.

d

Laat zien dat met bovenstaande modelaanname, de massa van het ijsklontje beschreven wordt door `m'(t) = text(-)c * (m(t))^(2/3)` met `c gt 0` .

e

Uit experimenteren blijkt dat de evenredigheidsconstante `c` gelijk is aan `0,01` . Benader met de methode van Euler de massa van het klontje na `10` minuten als de massa aan het begin `10` g is. Neem `Delta t = 0,5` minuten.

Opgave 15

De functie `f(x) = sqrt(ax + b)` is voor zekere waarden van `a` en `b` oplossing van de differentiaalvergelijking `f '(x) = 1/(f(x))` met `x gt 0` . Gegeven is ook dat `f(2) = 3` .

Bepaal de waarden van `a` en `b` .

Opgave 16

Gegeven is de differentiaalvergelijking `(text(d)y)/(text(d)x) = (text(-)x)/y` .

De grafieken van de oplossingen van deze differentiaalvergelijking zijn cirkels.

a

Onderzoek met behulp van het richtingsveld of de oplossingen van deze differentiaalvergelijking cirkels kunnen zijn.

b

Teken de oplossingskromme door het punt `(0, 5)` in het richtingsveld.

Bij een cirkel met middelpunt `O(0, 0)` en straal `r` hoort de vergelijking `x^2 + y^2 = r^2` . Hij kan derhalve worden beschreven door de functies `y = +- sqrt(r^2 - x^2)` .

c

Laat zien dat deze functies voldoen aan de gegeven differentiaalvergelijking.

Opgave 17

Hier zie je een richtingsveld.

a

Welke van de volgende differentiaalvergelijkingen hoort bij dit veld?

`f'(x) = (text(-)f(x))/x`
`f'(x) = (f(x))/x`
`f'(x) = x/(text(-)f(x))`
`f'(x) = x/(f(x))`

b

Hoe zien de oplossingsfuncties van deze differentiaalvergelijking er uit?

c

Laat zien dat deze functies voldoen aan de gegeven differentiaalvergelijking.

Verwerken