Differentiaalvergelijkingen > Differentiaalvergelijkingen
123456Differentiaalvergelijkingen

Verwerken

Opgave 12

Gegeven is de differentiaalvergelijking met beginwaarde .

a

Bepaal de bijbehorende differentievergelijking.

b

Neem een stapgrootte van en benader daarmee .

c

Doe hetzelfde nog eens met een stapgrootte van . Hoe groot is het verschil met het voorgaande antwoord?

Opgave 13

Gegeven is de differentiaalvergelijking .

a

Bepaal in de punten , en .

b

Maak met GeoGebra een lijnelementenveld van deze differentiaalvergelijking met en .

c

Welke twee horizontale lijnen voldoen aan deze differentiaalvergelijking?

d

Het lijnelement in is een deel van de raaklijn aan de grafiek van een oplossingsfunctie. Stel een vergelijking op van die raaklijn.

e

Teken in het richtingsveld de grafiek van de oplossingsfunctie door . Ga na dat hierbij de functie hoort en laat met een berekening zien dat deze functie inderdaad aan de differentiaalvergelijking voldoen.

Opgave 14

Een bolvormig klontje ijs zal in huis buiten de koelkast smelten. In het begin zal het meeste ijs smelten omdat het oppervlak van het klontje dan het grootst is. Het lijkt niet onredelijk om aan te nemen dat de snelheid van het massaverlies van het klontje evenredig is met de oppervlakte ervan. Je wilt een rekenmodel voor het smelten opstellen onder deze aanname.

a

Welke van de volgende grootheden zijn in dit probleem constant en welke niet?

  1. oppervlakte

  2. volume

  3. straal

  4. massa

  5. dichtheid

b

Laat met behulp van de formules de oppervlakte en de inhoud van een bol zien, dat voor een bol geldt: .

Neem voor de constante dichtheid van het ijs kg/m3.

c

Geef een formule voor het verband tussen de oppervlakte en de massa van het ijsklontje.

d

Laat zien dat met bovenstaande modelaanname, de massa van het ijsklontje beschreven wordt door met .

e

Uit experimenteren blijkt dat de evenredigheidsconstante gelijk is aan . Benader met de methode van Euler de massa van het klontje na minuten als de massa aan het begin g is. Neem minuten.

Opgave 15

De functie is voor zekere waarden van en oplossing van de differentiaalvergelijking met . Gegeven is ook dat .

Bepaal de waarden van en .

Opgave 16

Gegeven is de differentiaalvergelijking .

De grafieken van de oplossingen van deze differentiaalvergelijking zijn cirkels.

a

Onderzoek met behulp van het richtingsveld of de oplossingen van deze differentiaalvergelijking cirkels kunnen zijn..

b

Teken de oplossingskromme door het punt in het richtingsveld.

Bij een cirkel met middelpunt en straal hoort de vergelijking . Hij kan derhalve worden beschreven door de functies .

c

Laat zien dat deze functies voldoen aan de gegeven differentiaalvergelijking.

Opgave 17

Hier zie je een richtingsveld.

a

Welke van de volgende differentiaalvergelijkingen hoort bij dit veld?

b

Hoe zien de oplossingsfuncties van deze differentiaalvergelijking er uit?

c

Laat zien dat deze functies voldoen aan de gegeven differentiaalvergelijking.

Opgave 18

Twee chemische stoffen, A en B, reageren met elkaar en vormen stof C.
De bijbehorende reactievergelijking is: .
Deze vergelijking geeft aan dat eenheden (bijvoorbeeld kilogram) van stof A samen met één eenheid van stof B omgezet worden in één eenheid van stof C. De reactie begint als men stof A met stof B samenvoegt. Op dat ogenblik is er nog geen stof C aanwezig! In het begin wordt er "snel" stof C gemaakt. Maar omdat er steeds minder van stof A en van stof B voorradig is, wordt de snelheid waarmee stof C ontstaat steeds kleiner. De differentiaalvergelijking die de vorming van stof C beschrijft is:

met

  • is de tijd in minuten;

  • is de hoeveelheid gevormde stof C;

  • is de beginhoeveelheid van stof A;

  • is de beginhoeveelheid van stof B;

  • is een positieve constante.

a

Toon aan dat en .

b

Toon met behulp van de differentiaalvergelijking aan dat de hoeveelheid geproduceerde stof C per tijdseenheid steeds kleiner wordt.

In de figuur zie je voor en voor een zekere waarde van het richtingsveld voor .

c

Welke waarde van hoort bij dit veld?

d

Schat met behulp van het richtingsveld de hoeveelheid van stof C na drie minuten. Hoeveel stof A is er dan nog aanwezig?

verder | terug