Differentiaalvergelijkingen > Differentiaalvergelijkingen
123456Differentiaalvergelijkingen

Voorbeeld 2

Bekijk het lijnelementenveld bij de differentiaalvergelijking .

Bereken in het punt en laat zien dat deze hellingswaarde overeenkomt met de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oplossingsfunctie door dit punt.

Hoe maak je zo'n richtingsveld?

> antwoord

Je maakt zo'n richtingsveld door in veel punten de waarde van te berekenen en dan in zo'n punt een klein lijnstukje te tekenen met die waarde als hellingswaarde. Dit laat je meestal doen door een computerprogramma zoals GeoGebra, zie het practicum.

Om na te gaan dat de gevonden hellingswaarde overeenkomt met de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de oplossingsfunctie door dit punt, ga je deze oplossing proberen te vinden.

In het lijnelementenveld lijken exponentiële functies met een horizontale asymptoot goede kandidaten te zijn voor de oplossingen van de differentiaalvergelijking. Ga dus uit van .

en invullen geeft .

Je krijgt dan .

De grafiek moet door gaan en dit geeft .

Je hebt nu de complete functie .

En daarvan kun je dan weer helling berekenen voor . Ga na dat je ook ongeveer krijgt.

Opgave 8

Bestudeer het voorbeeld.

a

Maak zelf het lijnelementenveld met behulp van GeoGebra, bekijk eventueel het practicum.

b

Voer de berekening van de oplossingsfunctie zelf volledig uit.

c

Laat zien dat deze oplossingsfunctie in een hellingswaarde van ongeveer heeft.

Opgave 9

Bekijk de differentiaalvergelijking met die een vervalproces beschrijft.

a

Maak een bijbehorend lijnelementenveld met behulp van GeoGebra, bekijk eventueel het practicum. Leg uit waarom bijna alle lijnelementen een negatieve helling hebben. Welke lijnelementen niet?

b

Waarom hebben alle punten die op dezelfde horizontale lijn liggen ook dezelfde helling?

c

Maak in GeoGebra de oplossing van deze differentiaalvergelijking die aan de randvoorwaarde voldoet. Welke formule hoort er bij?

verder | terug