Differentiaalvergelijkingen > DifferentiaalvergelijkingenVoorbeeld 3
Bekijk het lijnelementenveld bij de differentiaalvergelijking `f'(x) = f(x)*(1 - f(x))` .
Welke twee constante functies zijn oplossing van deze differentiaalvergelijking?
Toon aan, dat functies van de vorm `f(x) = 1/(1 + A*text(e)^(text(-)x))` oplossing van deze differentiaalvergelijking zijn.
In het lijnelementenveld zie je dat op de lijnen `y = 0` en `y = 1` alle hellingen de waarde `0` hebben. Je kunt gemakkelijk nagaan dat `y = 0` en `y' = 0` er voor zorgen dat links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde staat. Dit betekent dat `y = 0` een oplossing van de differentiaalvergelijking is. En hetzelfde geldt voor `y = 1` .
Bij `f(x) = 1/(1 + A*text(e)^(text(-)x))` hoort `f '(x) = (A*text(e)^(text(-)x))/((1 + A*text(e)^(text(-)x))^2)` .
Als je beide in de differentiaalvergelijking invult, kun je laten zien dat links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde komt te staan voor elke waarde van `x` .
Bekijk de differentiaalvergelijking uit
Maak zelf het bijbehorende lijnelementenveld met behulp van GeoGebra.
Laat zien, dat `y = 1` aan de gegeven differentiaalvergelijking voldoet.
Laat zien dat functies van de vorm `f(x) = 1/(1 + A*text(e)^(text(-)x))` voldoen aan de differentiaalvergelijking.
Teken in het richtingsveld dat je bij a hebt gemaakt de oplossingsfunctie `f(x)` waarvoor geldt `f(0) = 0,5` .
Hier zie je het richtingsveld bij de differentiaalvergelijking `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/(2 sqrt(x))` met `x gt 0` .
Hoe lopen de lijnelementen in de buurt van de `y` -as?
Maak zelf dit richtingsveld en bekijk een aantal grafieken van oplossingen ervan.
Bedenk welk type functies voldoet aan de differentiaalvergelijking en toon dan aan dat ze dit ook inderdaad doen.