Differentiaalvergelijkingen > DifferentiaalvergelijkingenUitleg
Een totaal andere manier om naar de oplossingen van een differentiaalvergelijking van de vorm `f'(x) = ...` (waarbij op de stippeltjes een uitdrukking staat met alleen `x` en `y = f(x)` ) te kijken zie je hier.
Neem weer de differentiaalvergelijking `f'(x) = x + f(x)` .
Je kunt dit schrijven als `(text(d)y)/(text(d)x) = x + y` .
En dan bedenk je dat `(text(d)y)/(text(d)x)` de helling is van de raaklijn aan de grafiek van `y = f(x)` . En in elk punt `(x, y)` kun je een klein stukje van zo'n raaklijn tekenen, bijvoorbeeld:
-
In `(0, 0)` geldt `(text(d)y)/(text(d)x) = 0 + 0 = 0` .
-
In `(0, 1)` geldt `(text(d)y)/(text(d)x) = 0 + 1 = 1` .
-
In `(2, 3)` geldt `(text(d)y)/(text(d)x) = 2 + 3 = 5` .
Gelukkig bestaan er computerprogramma's die stukjes raaklijn met de berekende helling
snel voor je tekenen, zie het
Zo'n programma kan ook de grafiek van de oplossing door een bepaald punt voor je maken. Je krijgt dan vaak een idee van het soort functie waar je mee te maken hebt.
Een figuur zoals dit noem je een richtingsveld bij de differentiaalvergelijking, of ook wel een lijnelementenveld.
Bekijk het richtingsveld bij de differentiaalvergelijking `f'(x) = x + f(x)` .
Ga na, dat bij de punten die in
Welke helling heeft het lijnelement bij het punt `A(text(-)1, 4)` ? Ga na, dat de gevonden waarde klopt met de figuur.
In het lijnelementenveld kun je zien dat de grafiek van één der oplossingen een rechte lijn is. Welke formule hoort er bij die lijn?
In de applet kun je de grafiek van de oplossing van de differentiaalvergelijking zien die door `(0, 0)` gaat. Ga na, dat deze grafiek overeenkomt met die van de functie `f(x) = text(-)x - 1 - 1 text(e)^x` .
Bekijk het
Bekijk het richtingsveld bij de differentiaalvergelijking `C'(t) = 1 - C(t)` of liever: maak het zelf met GeoGebra.
Bereken de helling in alle punten op de `x` -as.
Welke helling heeft het lijnelement bij het punt `A(text(-)2, 4)` ? Ga na, dat de gevonden waarde klopt met de figuur.
In het lijnelementenveld kun je zien dat de grafiek van één der oplossingen een rechte lijn is. Welke formule hoort er bij die lijn?
Schets (of maak met GeoGebra) de grafiek van de oplossing van de differentiaalvergelijking die door `(0, 0)` gaat. Welk soort functievoorschriften hoort bij deze differentiaalvergelijking?