Dat alles met `y` en `y'` links en de rest rechts van het isgelijkteken terecht komt.

Eerst beide zijden vermenigvuldigen met `text(d)x` en dan beide zijden delen door `y` .

Het is eigenlijk onjuist, `(text(d)y)/(text(d)x)` is geen deling, maar een limiet. In de uitleg wordt beter duidelijk hoe het werkelijk zit. Maar als manier van opschrijven is het werken met `(text(d)y)/(text(d)x)` wel erg handig.

Probeer dit zelf te doen zonder de uitleg te bekijken.

`(text(d)y)/(text(d)x) = x^2 * y` wordt `y' = x^2 * y` en `(y')/y = x^2` .

Dit geeft `int  (y')/y text(d)x = int  x^2 text(d)x` en met `y'text(d)x = text(d)y` krijg je de gewenste vorm.

Primitiveren: `ln|y| = 1/3 x^3 + C` .

Dit kun je schrijven als `y = +- K*text(e)^(1/3 x^3)` met `K gt 0` .

Omdat ook `y = 0` voldoet, is de oplossing `y = A*text(e)^(1/3 x^3)` .

Schrijf de d.v. eerst als `y' = (x+1)/y` en `y*y' = x+1` .

Gebruik weer `y'text(d)x = text(d)y` .

`1/2 y^2 = 1/2 x^2 + x + C` geeft `x^2 + 2x - y^2 = text(-)C = K` .

Dit kun je schrijven als `(x + 1)^2 - y^2 = a` .

Dat is de vergelijking van een hyperbool met centrum `(text(-)1, 0)` .

Omdat je de d.v. kunt lezen als `H' = 2t + 3` , zie je dat alles met `H` en `H'` links van het isgelijkteken staat en alles met `t` rechts van het isgelijkteken.

`H(t) = t^2 + 3t + C` geeft `H(2) = 10 + C = 15` .

Dus `C = 5` .

Oplossing `f(x) = 1/3 x^3 - 1,5x^2 + C`

Kan niet op die manier worden opgelost.

Oplossing `C(t) = t + 10/3 text(e)^(text(-)0,3t) + C`

Kan niet op die manier worden opgelost.

Schrijf eerst de differentiaalvergelijking als `(text(d)y)/(text(d)x) = (2x + 3) * y` .

Vervolgens ga je zo te werk:

`(text(d)y)/(text(d)x)`	`=`	`(2x+3)*y`	variabelen scheiden
`(text(d)y)/(y)`	`=`	`(2x + 3) text(d)x`	beide zijden integreren
`int 1/(y) text(d)y`	`=`	`int (2x+3) text(d)x + C`	primitiveren
`ln|y|`	`=`	`x^2 + 3x + C`	herleiden
`y`	`=`	`+- text(e)^(x^2 + 3x + C)`

Hierin is `C` een willekeurige constante.

Je hebt bij a gevonden dat `f(x) = +- text(e)^(x^2 + 3x + C)` .

Dit kun je schrijven als `f(x) = +- text(e)^C * text(e)^(x^2 + 3x) = A * text(e)^(x^2 + 3x)` , waarin `A = +- text(e)^C != 0` .

De situatie waarin `A = 0` moet je nog afzonderlijk bekijken, dat komt neer op onderzoeken of `y = 0` oplossing is van deze d.v.

En dat is inderdaad zo, vul `y=0` en `y'= 0` maar eens in de d.v. in.

Dus ook `A=0` is toegestaan, waarmee je hebt laten zien wat je moest laten zien.

`f(0) = A*text(e)^0 = 15` geeft `A=15` .

Dit antwoord kun je ook met GeoGebra controleren.

Schrijf eerst de differentiaalvergelijking als `(text(d)y)/(text(d)x) = (x^2 + 1) * y` .

Vervolgens ga je zo te werk:

`(text(d)y)/(text(d)x)`	`=`	`(x^2 + 1)*y`	variabelen scheiden
`(text(d)y)/(y)`	`=`	`(x^2 + 1) text(d)x`	beide zijden integreren
`int 1/(y) text(d)y`	`=`	`int (x^2 + 1) text(d)x + C`	primitiveren
`ln|y|`	`=`	`1/3 x^3 + x + C`	herleiden
`y`	`=`	`+- text(e)^(1/3 x^3 + x + C) = A text(e)^(1/3 x^3 + x)`

Hierin is `A != 0` , dus nog even controleren dat `y=0` oplossing is van de d.v. Dat is zo, dus de volledige oplossing is `y = A text(e)^(1/3 x^3 + x)` voor elke willkeurige waarde van `A` .

De variabelen zijn niet te scheiden.

Schrijf eerst de differentiaalvergelijking als `(text(d)H)/(text(d)t) = 5 - H` .

Vervolgens ga je zo te werk:

`(text(d)H)/(text(d)t)`	`=`	`5 - H`	variabelen scheiden
`(text(d)H)/(5 - H)`	`=`	`text(d)t`	beide zijden integreren
`int 1/(5-H) text(d)H`	`=`	`int  1 text(d)t + C`	primitiveren
`ln|5 - H|`	`=`	`t + C`	herleiden
`5 - H`	`=`	`+- text(e)^(t + C) = A text(e)^t`	herleiden
`H`	`=`	`5 - A text(e)^t`

Hierin is `A != 0` , dus nog even controleren dat `H = 5` oplossing is van de d.v. Dat is zo, dus de volledige oplossing is `H = 5 - A text(e)^t` voor elke willkeurige waarde van `A` .

Schrijf eerst de differentiaalvergelijking als `(text(d)C)/(text(d)t) = k*(C_v - C)` .

Vervolgens ga je zo te werk:

`(text(d)C)/(text(d)t)`	`=`	`k*(C_v - C)`	variabelen scheiden
`(text(d)C)/(C_v - C)`	`=`	`k text(d)t`	beide zijden integreren
`int 1/(C_v - C) text(d)C`	`=`	`int k text(d)t + C`	primitiveren
`ln|C_v - C|`	`=`	`kt + C`	herleiden
`C_v - C`	`=`	`+- text(e)^(kt + C) = A text(e)^(kt)`	herleiden
`C`	`=`	`C_v - A text(e)^(kt)`

Hierin is `A != 0` , dus nog even controleren dat `C = C_v` oplossing is van de d.v. Dat is zo, dus de volledige oplossing is `C(t) = C_v - A text(e)^(kt)` voor elke willkeurige waarde van `A` .

`C(t) = 10 - A*text(e)^(0,02t)` geeft met `C(0) = 0` dat `A = 10` .

`C(20) = 10 - 10*text(e)^(0,02*20) ~~ 3,3` mg/L.

Variabelen scheiden: `(text(d)y)/(y^2) = x text(d)x` als `y != 0` .

Integreren: `(text(-)1)/y = 1/2 x^2 + C` .

`y(0)=2` geeft `C = text(-) 1/2` , dus de gevraagde oplossing is `y = 2/(1 - x^2)` .

Variabelen scheiden: `(text(d)y)/(y) = sin(x) text(d)x` als `y != 0` .

Integreren: `ln|y| = text(-) cos(x) + C` .

`f(0)=1` geeft `C = 1` , dus de gevraagde oplossing is `f(x) = text(e)^(1 - cos(x))` .

Variabelen scheiden: `(1)/(sqrt(y)) text(d)y = 1/(sqrt(x)) text(d)x` als `y gt 0 ^^ x gt 0` .

Integreren: `2sqrt(y) = 2 sqrt(x) + C` .

`y(1)=4` geeft `C = 2` , dus de gevraagde oplossing is `y = (sqrt(x) + 1)^2` .

Om een volledige ellips te krijgen moet je twee bij elkaar passende oplossingskrommen laten tekenen, b.v. die door `(0, 4)` en die door `(0, text(-)4)` .

Variabelen scheiden: `y text(d)y = text(-)4x text(d)x` als `y != 0` .

Integreren: `1/2 y^2 = text(-)2x^2 + C` .

Dit kun je schrijven als `4x^2 + y^2 = 2C` .

`(5, 0)` invullen geeft `C = 50` , dus de gevraagde ellips is `4x^2 + y^2 = 100` .

Doen, de grafieken van oplossingskrommen worden rechte lijnen door `O` .

Variabelen scheiden: `1/y text(d)y = 1/x text(d)x` als `y != 0 ^^ x != 0` .

Integreren: `ln|y| = ln|x| + C` .

Dit kun je schrijven als `y = +-text(e)^C x` .

Omdat `y = 0` oplossing van de d.v. is, wordt dit `y = a x` .

Teken een zijaanzicht, noem de straal van de doorsnede `r` . Daarin zie je gelijkvormige driehoeken.

Er geldt daarom: `(20 - h)/20 = r/5` .

Dus: `r = 1/4 * (20 - h)` .

Dit geeft: `A = pi r^2 = 1/16 pi * (20 - h)^2` .

`(text(d)h)/(text(d)t) = c/A = c/(1/16 pi * (20 - h)^2) = (16c)/(pi * (20 - h)^2)` .

`(text(d)h)/(text(d)t) = (16c)/(pi * (20 - h)^2)` geeft `pi * (20 - h)^2 text(d)h = 16c text(d)t` .

Integreren geeft: `text(-) 1/3 pi (20 - h)^3 = 16c * t + C` .

Op `t = 0` is `h = 20` geeft `C=0` .

Je krijgt dus `pi * (20 - h)^3 = text(-) 48ct` .

`t = 8` geeft `h = 0` .

Hieruit vind je `pi * 20^3 = text(-)384c` en dus `c = (text(-)0,084)/(pi) ~~ text(-)65,45` .

Geef de hoogte van de olielaag op tijdstip `t` aan met `h(t)` . De hoogte van de olielaag is gelijk aan het volume gedeeld door de oppervlakte ( `3 * 5 = 15` m²) van het zwembad, dus `h(t) = V(t)/15` .

Op `t = 0` is `V(0) = (0,001)/15` m³.

De differentiaalvergelijking wordt `(text(d)V)/(text(d)t) = text(-)k * (V(t))/15` .

`(text(d)V)/(text(d)t) = text(-)7,5 * (V)/15` geeft `1/V text(d)V = text(-)0,5 text(d)t` .

Integreren geeft: `ln|V| = text(-)0,5t + C` .

Dus: `V(t) = A*text(e)^(text(-)0,5t)`

Op `t = 0` is `V = (0,001)/15` geeft `A = (0,001)/15` .

De olielaag breekt als `V = (0,0001)/15` en dus als `text(e)^(text(-)0,5t) = 0,1` . Daaruit volgt `t = (ln(0,1))/(text(-)0,5) ~~ 4,61` uur.

`H(t) = A text(e)^(text(-)0,1t)` met `A` elk reëel getal.

`H(t) = 10 text(e)^(text(-)0,1t)`