Differentiaalvergelijkingen > Variabelen scheidenVoorbeeld 2
Gegeven is de differentiaalvergelijking `f '(x) = 2 * (f (x))^2` .
Los deze differentiaalvergelijking op door de variabelen te scheiden. Schrijf de oplossingen als functies.
Schrijf eerst de differentiaalvergelijking als `(text(d)y)/(text(d)x) = 2y^2` .
Vervolgens ga je zo te werk:
| `(text(d)y)/(text(d)x)` | `=` | `2y^2` |
variabelen scheiden
|
| `(text(d)y)/(y^2)` | `=` | `2 text(d)x` |
beide zijden integreren
|
| `int 1/(y^2) text(d)y` | `=` | `int 2 text(d)x + C` |
primitiveren
|
| `(text(-)1)/y` | `=` | `2x + C` |
herleiden
|
| `y` | `=` | `(text(-)1)/(2x + C)` |
Hierin is `C` een willekeurige constante.
Bij het delen door `y^2` heb je wel moeten aannemen dat `y != 0` . En dus moet je even nagaan of `y = 0` een oplossing van deze differentiaalvergelijking is. En dat blijkt inderdaad zo te zijn. De complete oplossing is daarom:
`f(x) = (text(-)1)/(2x + C) vv f(x) = 0` met `C` een willekeurig getal.
In
Los deze differentiaalvergelijking op.
Laat zien dat je de oplossing kunt schrijven als `f(x) = A text(e)^(x^2 + 3x)` , waarin `A` een willkeurige constante is.
Welke oplossing van deze differentiaalvergelijking voldoet aan de randvoorwaarde `f(0) = 15` ?
Ga na of van de onderstaande differentiaalvergelijkingen de variabelen te scheiden zijn. Los ze vervolgens volledig op.
`f '(x) = x^2 * f(x) + f(x)`
`(text(d)y)/(text(d)x) = (xy)/(x+y)`
`H'(t) = 5 - H(t)`