Van bepaalde types differentiaalvergelijkingen kun je de oplossingen systematisch vinden. Omdat in een differentiaalvergelijking ook afgeleiden voorkomen, ligt het voor de hand om te bedenken dat je vanuit een afgeleide de functie kunt terugvinden door primitiveren. Het eerste idee is dan ook om de integraalrekening in te zetten.

Bekijk bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking `f'(x) = x * f(x)` maar eens.

Je kunt dit ook schrijven als `y' = x * y` , want `f(x) = y` .

Hier kun je van maken `(y')/y = x`

Je hebt nu de variabelen gescheiden en je kunt gaan integreren. Op een constante na zijn de primitieven links en rechts van het isgelijkteken ook gelijk:

`int (y')/y text(d)x = int x text(d)x + C` , waarin `C` een willkeurig getal is.

Rechts van het isgelijkteken kun je primitiveren: `int x text(d)x = 1/2 x^2` .

Maar hoe zit het links van het isgelijkteken?

Daar moet je bedenken dat `y' = (Delta y)/(Delta x)` als `Delta x rarr 0` . En dus is `y' Delta x= Delta y` als `Delta x rarr 0` .

Om aan te geven dat `Delta x rarr 0` schrijf je niet langer meer `Delta x` en `Delta y` , maar `text(d)x` en `text(d)y` .
Zo vind je `y' text(d)x= text(d)y` .

En dus wordt de differentiaalvergelijking na integreren `int 1/y text(d)y = int x text(d)x + C` .

Primitiveren geeft: `ln|y| = 1/2 x^2 + C` .

Dit kun je schrijven als `|y| = text(e)^(1/2 x^2 + C) = K * text(e)^(1/2 x^2)` met `K = text(e)^C gt 0` .

Zonder absoluutstrepen wordt dit `y = +- K text(e)^(1/2 x^2)` met `K gt 0` .

Nog korter zijn de oplossingen `y = A text(e)^(1/2 x^2)` met `A != 0` .

Omdat `y = 0` een oplossing van deze differentiaalvergelijking is (ga dat na), kun je `A != 0` weglaten.