Differentiaalvergelijkingen > Lineaire differentiaalvergelijkingen
123456Lineaire differentiaalvergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`m * y''(t) = text(-)k * y(t)`

b

Probeer zelf iets te verzinnen, bekijk eventueel de Uitleg 2.

c

`y(t) = A sin(bt + c)` en `y''(t) = text(-)Ab^2 sin(bt + c)` invullen in de d.v.

Je krijgt dan links en rechts van het isgelijkteken voor elke `t` hetzelfde als `b = +- sqrt(k/m)` .

Opgave 1
a

Geen lineaire d.v. van de eerste orde.

b

Lineaire d.v. van de eerste orde, te schrijven als `(text(d)y)/(text(d)x) = 3y + 2` .

Variabelen scheiden: `(text(d)y)/(3y+2) = text(d)x` als `y != text(-) 2/3` .

Integreren: `1/3 ln|3y+2| = x + C` .

Herleiden: `ln|3y+2| = 3x + 3C` geeft `y = A*text(e)^(3x) - 2/3` .

`f(0)=1` geeft `A = 1 2/3` , dus de gevraagde oplossing is `f(x) = 1 2/3 text(e)^(3x) - 2/3` .

c

Lineaire d.v. van de eerste orde.

Variabelen scheiden: `(1)/(5y) text(d)y = text(d)x` als `y != 0` .

Integreren: `1/5 ln|5y| = x + C` .

Herleiden: `ln|5y| = 5x + 5C` geeft `y = A*text(e)^(5x)` .

`y(0)=4` geeft `A = 4` , dus de gevraagde oplossing is `y = 4*text(e)^(5x)` .

Opgave 2
a

Schrijf de d.v. als `(text(d)y)/(text(d)x) = text(-) b/a y - c/a` .

Variabelen scheiden: `(text(d)y)/(text(-) b/a y - c/a) = text(d)x` als `y != text(-) c/b` .

Integreren: `text(-) a/b ln|text(-) b/a y - c/a| = x + C` .

Herleiden: `ln|text(-) b/a y - c/a| = text(-) b/a x - (bC)/a` geeft `y = A*text(e)^(text(-) b/a x) - c/b` .

`y = text(-) c/b` is oplossing van de d.v., dus de algemene oplossing is `y = A*text(e)^(text(-) b/a x) - c/b` waarin `A` elke willekeurige waarde kan hebben.

b

Het zijn exponentiële functies met horizontale asymptoot `y = text(-) c/b` .

Opgave 3
a

De d.v. is te schrijven als `m * y'' + 0 * y' + k * y = 0` .

b

Vanwege die tweede afgeleide kun je niet eenvoudig "terug integreren" .

c

`y = a sin(bt + c)` geeft `y" = text(-)ab^2 sin(bt + c)` . Dit invullen in de d.v. geeft `m * text(-)ab^2 = text(-)k * a` , zodat `b = sqrt(k/m)` .

d

`a` en `c` leg je vast met de beginstand van de opstelling: op `t = 0` is de veer maximaal uitgerekt ( `a` m vanuit de evenwichtsstand). En door de periode te meten bepaal je `k` .

Opgave 4
a

Je krijgt `k^2 - 2k - 3 = 0` .

b

`k_1 = 3` en `k_2 = text(-)1` .

c

`y(t) = A_1 text(e)^(3t) + A_2 text(e)^(text(-) t)` invullen samen met zijn afgeleide en tweede afgeleide.

d

Daarvoor zijn randvoorwaarden nodig, bijvoorbeeld waarden voor `y(0)` en `y'(0)` .

Opgave 5
a

Doen.

b

`text(-)1/2 ln|text(-)2y + 5| = x + C` wordt `|text(-)2y + 5| = text(e)^(text(-)2x + C)` en dus `text(-)2y + 5 = +- text(e)^C * text(e)^(text(-)2x)` .

Dit levert op: `y = +- 1/2 text(e)^C * text(e)^(text(-)2x) + 2,5 = A * text(e)^(text(-)2x) + 2,5` waarin `A = +- 1/2 text(e)^C != 0` .

c

`A = 0` geeft `y = 2,5` en hierbij hoort `y' = 0` . Ga na dat dit aan de d.v. voldoet.

Opgave 6
a

Schrijf de d.v. als `T' + 0,15*T = 3` .

b

Variabelen scheiden: `1/(text(-)0,15T + 3) text(d)T = text(d)t`

Integreren `1/(text(-)0,15) ln|text(-)0,15T + 3| = t + C` .

Herleiden: `T(t) = A * text(e)^(text(-)0,15t) + 20` waarin `A != 0` .

Na controle van `A = 0` vind je de algemene oplossing: `T(t) = A * text(e)^(text(-)0,15t) + 20` . (Die je al eerder hebt gezien, maar nog niet echt afgeleid.)

c

Omdat `T(0) = 6`  °C, is `A = text(-)14` .

`t = 2` geeft `T(2) = text(-)14 text(e)^(text(-)0,30) + 20 ~~ 9,6`  °C.

Opgave 7
a

Omdat hij de vorm `a y'' + by' + cy = 0` heeft.

b

Omdat er twee constanten in de algemene oplossing voorkomen.

c

`y(0) = 0` geeft `A + B = 0` .

`y'(0) = 5` geeft `2A - 4B = 5` .

Dus vind je `A = 5/6` en `B = text(-)5/6` .

Opgave 8
a

Karakteristieke vergelijking `2k^2 + k - 3 = 0` geeft `k_1 = 1` en `k_2 = text(-)1,5` .

Algemene oplossing: `y = A text(e)^x + B text(e)^(text(-)1,5x)` .

b

`y(0) = 4` geeft `A + B = 4` .

`y'(0) = 9` geeft `A - 1,5B = 9` .

Dus vind je `A = 6` en `B = text(-)2` . De gevraagde oplossingsfunctie is `y = 6 text(e)^x - 2 text(e)^(text(-)1,5x)` .

Opgave 9
a

Je krijgt `m * p^2 + k = 0` .

b

`p_1 = sqrt(text(-)k/m) = sqrt(k/m)* text(i)` en `p_1 = text(-) sqrt(text(-)k/m) = text(-) sqrt(k/m)* text(i)` .

c

`y(t) = A text(e)^(sqrt(k/m)*text(i)* t) + B text(e)^(text(-)sqrt(k/m)*text(i)* t)` wordt:

`y(t) = (A+B) cos(sqrt(k/m)*t) + text(i)*(A - B) sin(sqrt(k/m)*t)`

Het reële deel hiervan is `y(t) = C cos(sqrt(k/m)*t)` .

Opgave 10
a

Je krijgt `m * p^2 + c * p + k = 0` .

b

`p_1 = (text(-)c + sqrt(c^2 - 4mk))/(2m)` en `p_2 = (text(-)c - sqrt(c^2 - 4mk))/(2m)` .

Dit zijn complexe getallen als `c^2 - 4mk lt 0` .

c

`p_1 = text(-)1 + 7text(i)` en `p_1 = text(-)1 - 7text(i)` wordt:

`y(t) = text(e)^(text(-)t)((A_1+A_2) cos(sqrt(50)*t) + text(i)*(A_1 - A_2) sin(sqrt(50)*t))`

Het reële deel van de algemene oplossing is `y(t) = text(e)^(text(-)t) * A cos(sqrt(50)*t)` .

Opgave 11
a

Lineaire d.v. van de eerste orde, te schrijven als `(text(d)y)/(text(d)x) = 0,25y` .

Variabelen scheiden: `(text(d)y)/(y) = 0,25 text(d)x` als `y != 0` .

Integreren: `ln|y| = 0,25x + C` .

Herleiden: `y = A*text(e)^(0,25x)` .

`y(0)=2` geeft `A = 2` , dus de gevraagde oplossing is `y(x) = 2text(e)^(0,25x)` .

b

Lineaire d.v. van de tweede orde, substitutie `y = A*text(e)^(kx)` .

Karakteristieke vergelijking: `k^2 - 0,25 = 0` geeft `k_1 = 0,5` en `k_2 = text(-)0,5` .

Algemene oplossing: `y = A*text(e)^(0,5x) + B*text(e)^(text(-)0,5x)` .

`y(0)=2` geeft `A + B = 2` .

`y'(0)=5` geeft `0,5A - 0,5B = 5` .

Hieruit volgt `B = 6` en `A = text(-)4` .

c

Lineaire d.v. van de tweede orde, substitutie `y = A*text(e)^(kx)` .

Karakteristieke vergelijking: `2k^2 + k = 0` geeft `k_1 = 0` en `k_2 = text(-)0,5` .

Algemene oplossing: `y = A*text(e)^(0x) + B*text(e)^(text(-)0,5x) = A + B*text(e)^(text(-)0,5x)` .

`y(0)=0` geeft `A + B = 0` .

`y'(0)=6` geeft `text(-)0,5B = 6` .

Hieruit volgt `B = text(-)12` en `A = 12` .

Opgave 12
a

Schrijf de d.v. als `(text(d)T)/(text(d)t) = text(-)0,3T + 6` .

Variabelen scheiden: `(text(d)T)/(text(-)0,3T + 6) = text(d)t` als `T != 20` .

Integreren: `1/(text(-)0,3) ln|text(-)0,3T + 6| = t + C` .

Herleiden: `T(t) = A*text(e)^(text(-)0,3T) + 20` .

`T(0) = 70` geeft `A = 50` , dus de oplossing is `T(t) = 50*text(e)^(text(-)0,3t) + 20` .

b

`T = 35` oplossen geeft `t = (ln(15/50))/(text(-)0,3) ~~ 4,01` uur.

Opgave 13
a

`y'' = text(-)g`

b

Omdat `g != 0`

c

Eerste keer integreren: `y'(t) = text(-)gt + a`

Tweede keer integreren: `y(t) = text(-)1/2g t^2 + a*t + b`

c

`b=100` en `a = 0` , dus je krijgt `y(t) = 100 - 1/2g t^2 ~~ 100 - 4,9t^2` .

Het gaat dan om een voorwerp dat je van `100` m hoogte laat vallen.

Opgave 14
a

`l * alpha'' + g* alpha = 0`

b

Lineaire d.v. van de tweede orde, substitutie `alpha = A*text(e)^(kt)` .

Karakteristieke vergelijking: `l*k^2 + g = 0` geeft `k_1 = sqrt(g/l) * text(i)` en `k_2 = text(-)sqrt(g/l) * text(i)` .

Algemene oplossing: `alpha = A*text(e)^(sqrt(g/l) * text(i) * t) + B*text(e)^(text(-)sqrt(g/l) * text(i) * t)` .

Herleiden met de formule van Euler geeft:

`alpha(t) = (A+B)cos(sqrt(g/l)* t) + (A-B)*text(i)*sin(sqrt(g/l) * t)` .

c

Het reële deel is `alpha(t) = (A+B)cos(sqrt(g/l)* t) = C cos(sqrt(g/l)* t)` .

Opgave 15
a

`k^2 - 2k + 1 = 0` .

Er is nu maar één waarde voor `k` , namelijk `k = 1` .

b

Vul in `y = A*text(e)^x` en `y' = A*text(e)^x` en `y'' = A*text(e)^x` en controleer dat je `0=0` krijgt.

Vul in `y = Bx*text(e)^x` en `y' = (B+Bx)*text(e)^x` en `y'' = (2B+Bx)*text(e)^x` en controleer dat je `0=0` krijgt.

c

Omdat zowel `y = A*text(e)^x` als `y = Bx * text(e)^x` voldoen, voldoet ook hun optelling.

d

`y(0) = 10` geeft `A = 10` .

`y'(0) = 5` geeft `B = text(-)10` .

Opgave 16
a

Oplossing: `y(x) = 9,5 text(e)^(4x) + 0,5` .

b

Oplossing: `y = text(-)7,5*text(e)^(4x) + 17,5*text(e)^(2x)` .

Opgave 17
a

Je krijgt `2 * k^2 + 2*k + 5 = 0` .

b

`k_1 = text(-)0,5 + 1,5text(i)` en `k_2 = text(-)0,5 - 1,5text(i)` .

c

Het reële deel van de algemene oplossing is `y(t) = text(e)^(text(-)0,5t) * C cos(1,5*t)` .

d

De amplitude is `y(t) = text(e)^(text(-)0,5t) * C` , en neemt dus af met toenemende `t` .

verder | terug