Differentiaalvergelijkingen > Lineaire differentiaalvergelijkingen
123456Lineaire differentiaalvergelijkingen

Verwerken

Opgave 11

Bepaal bij de volgende lineaire differentiaalvergelijkingen eerst of ze van de eerste of de tweede orde zijn. Los ze vervolgens op op.

a

`y'- 0,25y = 0` met `y(0) = 2` .

b

`y''- 0,25y = 0` met `y(0) = 2` en `y'(0) = 5` .

c

`2(text(d)^2 y)/(text(d)x^2) + (text(d)y)/(text(d)x) = 0` met `y(0) = 0` en `y'(0) = 6` .

Opgave 12

Als je pas gezette kop koffie (temperatuur `70`  °C) in een kamer zet met een temperatuur van `20`  °C), dan koelt de koffie af. De temperatuurafname is recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving. Je krijgt zo de differentiaalvergelijking:

`T'(t) = c * (T(t) - 20)` .

Neem aan dat `c = text(-)0,3` , dat `t` in uren is en dat `T(0) = 70`  °C.

a

Los deze differentiaalvergelijking op.

b

Bereken na hoeveel uur de temperatuur van de koffie is gehalveerd.

Opgave 13

Als een voorwerp alleen onder invloed van de zwaartekracht valt, dan geldt: `F = m * a = text(-)m * g` .

Hierin is `m` de massa in kg, `a(t) = y''(t)` de versnelling en `g` de gravitatieconstante, die op aarde ongeveer `9,8` m/s bedraagt.

Neem aan dat `y(0) = 100` en `y'(0) = 0` .

a

Welke lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde krijg je dus?

b

Waarom is deze differentiaalvergelijking niet homogeen?

c

Je kunt de differentiaalvergelijking oplossen door direct te integreren. Laat zien dat je vindt: `y(t) = text(-)1/2g t^2 + a*t + b` .

c

Bereken `a` en `b` met behulp van de randvoorwaarden. Leg uit wat het resultaat natuurkundig betekent.

Opgave 14

Een mathematische slinger is een (niet bestaanbare) ideale slinger. Hij is het best te benaderen door een naar verhouding kleine loden kogel aan een lange, sterke maar ragdunne draad te hangen. Als je de kogel uit zijn evenwichtsstand brengt en loslaat gaat hij slingeren. Bij de ideale slinger neem je dan aan, dat de draad geen massa heeft en geen luchtweerstand ondervindt.
De kogel wordt voortbewogen door een component van de zwaartekracht, waarvoor volgens de tweede wet van Newton geldt: `F=m·a·text(-)mgsin(α)` .

  • `a` is de versnelling (in m/s2), de afgeleide van de snelheid `v` (in m/s), die de afgeleide van de afgelegde weg `s` (in m) is;

  • `m` is de massa in `g` ;

  • `g` is de zwaartekrachtversnelling;

  • `α` is de hoek van de draad met de evenwichtsstand (in rad).

`α` hangt af van de tijd `t` (in s). Verder is `s=l sin(α)` met `l` in m. `sin(α)≈α` voor kleine hoeken. Voor `α(t)` geldt: `l·α''(t)=text(-)g·α(t)` . Deze differentiaalvergelijking is op te lossen met behulp van complexe getallen. Het reële deel van de oplossingsfunctie is de sinusoïde die de beweging van de kogel beschrijft.

a

Welke homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde krijg je dus?

b

Los de differentiaalvergelijking op met behulp van complexe getallen.

c

Laat zien dat het reële deel van de oplossingsfunctie een sinusoïde is.

Opgave 15

Gegeven is de homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde `y'' - 2y' + y = 0` .

Neem aan dat `y(0) = 10` en `y'(0) = 5` .

a

Welke karakteristieke vergelijking heeft deze differentiaalvergelijking? Welk probleem doet zich dan voor?

b

Ga na, dat nu zowel `y = A*text(e)^x` als `y = Bx * text(e)^x` oplossingen zijn van deze differentiaalvergelijking.

De functie `y = A*text(e)^x + Bx * text(e)^x` is de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking.

c

Licht toe hoe dit uit b volgt.

d

Bereken `A` en `B` vanuit de gegeven randvoorwaarden.

verder | terug