Differentiaalvergelijkingen > Lineaire differentiaalvergelijkingenVoorbeeld 3
Voor een massa aan een veer die zonder wrijving heen en weer trilt, geldt de differentiaalvergelijking:
`m * y''(t) = text(-)k * y(t)`
Hierin is:
-
`m` de massa van het gewichtje in kg;
-
`k` een positieve constante afhankelijk van de veer (materiaal, uitrekbaarheid);
-
`y(t)` de uitwijking van het gewichtje uit de evenwichtsstand in m;
Laat zien hoe je deze differentiaalvergelijking kunt oplossen.
Dit is een homogene differentiaalvergelijking van de tweede orde, dus je begint met de substitutie `y = A text(e)^(pt)` . ( `k` is hier de veerconstante, vandaar de `p` .)
Als je deze functie samen met zijn eerste en tweede afgeleide in de differentiaalvergelijking invult, krijg je de karakteristieke vergelijking: `m p^2 = text(-)k` .
Hieruit vind je twee waarden `p_1` en `p_2` .
Dit zijn complexe getallen omdat `k gt 0` en `m gt 0` en je dus de wortel uit een negatief getal moet trekken.
De algemene oplossing is dan `y = A text(e)^(p_1 t) + B text(e)^(p_2 t)` .
Maar hieraan valt nog flink te rekenen met behulp van de formule van Euler: `text(e)^(text(i)varphi) = cos(varphi) + text(i) sin(varphi)` .
Bekijk de differentiaalvergelijking
`m * y''(t) = text(-)k * y(t)`
uit
Vul in `y = A * text(e)^(pt)` en bepaal de karakteristieke vergelijking bij deze differentiaalvergelijking. ( `k` is hier de veerconstante, vandaar de `p` .)
Welke twee complexe getallen `p_1` en `p_2` vind je?
Gebruik de formule van Euler om de algemene oplossing te herleiden.
Laat zien dat je het reële deel van de algemene oplossing kunt schrijven als sinusoïde.
Bij een massa-veer-systeem is ook sprake van luchtweerstand. De bijbehorende differentiaalvergelijking wordt daardoor:
`m * y''(t) + c * y'(t) + k * y(t) = 0`
waarin `c gt 0` de dempingsconstante (in kg/s) is.
Vul in `y = A * text(e)^(pt)` en bepaal de karakteristieke vergelijking bij deze differentiaalvergelijking. ( `k` is hier de veerconstante, vandaar de `p` .)
Welke twee getallen `p_1` en `p_2` vind je? En wanneer zijn dit complexe getallen?
Neem aan dat de veerconstante `k = 25` N/m, `m = 0,5` kg en `c = 1` kg/s.
Laat zien dat je het reële deel van de algemene oplossing kunt schrijven als "sinusoïde met een afnemende amplitude" .