Differentiaalvergelijkingen > Lineaire differentiaalvergelijkingenVoorbeeld 1
Gegeven is de lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde `(text(d)y)/(text(d)x) + 2y = 5` .
Los deze differentiaalvergelijking op.
Je kunt de differentiaalvergelijking schrijven als `(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)2y + 5` .
Je kunt daarom de variabelen scheiden:
`1/(text(-)2y + 5) text(d)y = text(d)x`
Door integreren vind je: `text(-) 1/2 ln|text(-)2y + 5| = x + C` , waarin `C` een willekeurige constante is.
Dit kun je herleiden naar: `y = A text(e)^(text(-)2x) + 2,5` .
Je moet nog wel even nagaan hoe het zit met `A = 0` .
In
Maak het bijbehorende lijnelementenveld met behulp van GeoGebra. Ga na, dat de gevonden oplossingsfuncties inderdaad in dat richtingsveld passen.
Voer zelf de herleiding uit en let daarbij goed op de waarden die de constanten mogen aannemen.
Laat zien, dat ook `A = 0` een oplossing van de diferentiaalvergelijking oplevert.
Als je een glas melk vanuit de koelkast (temperatuur `6` °C) in een kamer zet waarin de temperatuur hoger is (kamertemperatuur bijvoorbeeld `20` °C), dan wordt de melk warmer. Uit de natuurkunde is bekend dat de temperatuurtoename recht evenredig is met het temperatuurverschil met de omgeving. Daarom kun je een continu dynamisch model maken voor het opwarmen van de melk dat er zo uitziet:
`T'(t) = c * (20 - T(t))` .
Neem aan dat `c = 0,15` , dat `t` in uren is en dat `T(0) = 6` °C.
Laat zien, dat dit een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde is.
Los deze differentiaalvergelijking op.
Bereken de temperatuur van de opwarmende melk na `2` uur.