Differentiaalvergelijkingen > Lineaire differentiaalvergelijkingenUitleg
Bij exponentiële groei is de groeisnelheid recht evenredig met de hoeveelheid `H(t)` op een bepaald tijdstip `t` .
Zo'n zin kun je vertalen in een differentiaalvergelijking: `H'(t) = k * H(t)` .
Soms is de exponentiële groei begrensd, bijvoorbeeld als je heet water in een kamer plaatst met een lagere temperatuur. Dan is de snelheid waarmee de temperatuur `T(t)` afneemt met de tijd `t` recht evenredig met het temperatuurverschil met de kamertemperatuur `T_k` .
Zo'n zin kun je vertalen in een differentiaalvergelijking: `T'(t) = k * (T(t) - T_k)` .
Deze twee differentiaalvergelijkingen zijn voorbeelden van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde: er komen geen hogere afgeleiden in voor, alleen de eerste afgeleide. Verder zijn ze lineair omdat ze beide zijn te schrijven als `a*y' + b*y + c = 0` . Er komen dus geen vermenigvuldigingen, delingen of machten van `y` en `y'` voor.
Als `a` , `b` en `c` constanten zijn, kun je dergelijke lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde oplossen door het scheiden van de variabelen.
Welke van de volgende differentiaalvergelijkingen is een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde? Los in dat geval de differentiaalvergelijking op.
`(text(d)y)/(text(d)x) = xy^2` met `y(0) = 2` .
`f '(x) - 3*f(x) = 2` met `f(0) = 1` .
`(text(d)y)/(text(d)x) = 5y` met `y(0) = 4` .
Een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde ziet er in het algemeen uit als `ay' + by + c = 0` met `a != 0` .
Los deze differentiaalvergelijking op.
Hoe zien de grafieken van de oplossingsfuncties van deze differentiaalvergelijking er uit?