Differentiaalvergelijkingen > Lineaire differentiaalvergelijkingenUitleg
Je ziet hier een plaatje uit de Wikipedia betreffende een gewichtje aan een veer. (Bron animatie: Svjo - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=25707677) Met de luchtweerstand wordt geen rekening gehouden, dus er geldt de wet van Hooke:
`F = m*a(t) = text(-)k * y(t)`
Hierin is:
-
`m` de massa van het gewichtje in kg;
-
`a(t)` de versnelling die het gewichtje ondervindt onder invloed van de zwaartekracht en de veerkracht;
-
`k` een positieve constante afhankelijk van de veer (materiaal, uitrekbaarheid);
-
`y(t)` de uitwijking van het gewichtje uit de evenwichtsstand in m;
-
`F` de kracht die op het gewichtje werkt in N (newton);
De versnelling `a(t)` is de verandering van de snelheid `v(t)` en de snelheid is de verandering van de uitwijking `y(t)` op een bepaald tijdstip `t` . De versnelling is daarom de tweede afgeleide van de uitwijking.
Daarom levert de wet van Hooke deze differentiaalvergelijking op:
`m * y''(t) = text(-)k * y(t)`
Hierin komt de tweede afgeleide van `y(t)` voor en geen hogere afgeleiden. Verder is de uitdrukking weer lineair. Dit is een voorbeeld van een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde. In het algemeen hebben die de gedaante
`a * y'' + b * y' + c*y = d`
Vaak is in de praktijk `d = 0` en dan spreek je van een homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde. Als `a` , `b` en `c` constanten zijn is zo'n differentiaalvergelijking systematisch op te lossen, in de opgaven ga je dat nader bekijken. Je begint meestal met in
`a * y'' + b * y' + c*y = 0`
de functie `y = A * text(e)^(kt)` met zijn afgeleide `y' = Ak * text(e)^(kt)` en tweede afgeleide `y'' = Ak^2 * text(e)^(kt)` in te vullen:
`A text(e)^(kt)(ak^2 + bk + c) = 0`
De vergelijking `ak^2 + bk + c = 0` heet de bijbehorende karakteristieke vergelijking en heeft twee (eventueel gelijke) oplossingen voor `k` , die je `k_1` en `k_2` kunt noemen. De algemene oplossing is dan `y = A_1 text(e)^(k_1 t) + A_2 text(e)^(k_2 t)` .
Omdat `k_1` en `k_2` complexe getallen kunnen zijn wordt in dat geval een beroep gedaan op je kennis daarvan.
Bekijk de differentiaalvergelijking
`m * y''(t) = text(-)k * y(t)`
uit
Laat zien dat dit een homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde is.
Waarom is zo'n differentiaalvergelijking van de tweede orde niet op te lossen door variabelen scheiden?
Je weet, dat het gewichtje heen en weer blijft bewegen, dat er een sinusoïde als grafiek van `y(t)` ontstaat.
Laat zien dat `y = a sin(bt + c)` aan de differentiaalvergelijking voldoet en bepaal `b` .
Hoe bepaal je de waarden van `k` , `a` en `c` in de praktijk van het massa-veer-systeem?
Bekijk de homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde `y''(t) - 2 y' = 3y` .
Vul in `y = A * text(e)^(kt)` en bepaal de karakteristieke vergelijking bij deze differentiaalvergelijking.
Welke twee getallen `k_1` en `k_2` vind je?
De algemene oplossing wordt `y(t) = A_1 text(e)^(k_1 t) + A_2 text(e)^(k_2 t)` .
Laat zien dat deze algemene oplossing met de gevonden waarden voor `k_1` en `k_2` inderdaad aan de differentiaalvergelijking voldoet.
Hoe kun je waarden voor `A_1` en `A_2` bepalen?