`1/((100 - N)N) text(d)N = 0,001 text(d)t`

Door in `a/(100 - N) + b/N` de twee breuken gelijknamig te maken en op te tellen. En vervolgens er voor te zorgen dat je `a` en `b` zo kiest dat de teller `1` wordt.

`a/(100 - N) + b/N = (aN)/((100 - N)N) + (b(100 - N))/((100 - N)N) = (aN - bN + 100b)/((100 - N)N)` .

Omdat `aN - bN + 100b = 1` moet `a - b = 0` en `100b = 1` .

Dit betekent `a = 0,01` en `b = 0,01` .

De d.v. wordt: `((0,01)/(100 - N) + (0,01)/(N))text(d)N = 0,001 text(d)t` .

Integreren: `text(-)0,01 ln|100 - N| + 0,01 ln|N| = 0,001t + C` .

Herleiden: `ln|N/(100 - N)| = 0,1t + C` geeft `N/(100 - N) = A*text(e)^(0,1t)` met `A != 0` .

Je vindt: `N(t) = (100A text(e)^(0,1t))/(1 + A text(e)^(0,1t))` .

Teller en noemer van het antwoord bij d delen door `A text(e)^(0,1t)` en `1/A = C` kiezen.

Ze hebben twee horizontale asymptoten `N = 0` en `N = 100` en het juiste verloop.

D.v. schrijven als `1/((M - N)N) text(d)N = c text(d)t`

Breuksplitsen `1/((M - N)N) = 1/M (1/(M-N) + 1/N)` .

Integreren: `1/M * ln|N/(M-N)| = ct + C` .

Herleiden naar de gewenste vorm.

Vul in de functie `N(t)` bij a `t = 0` in.

Neem `M = 100` en `c = 0,001` .

D.v. schrijven als `1/((3600 - P)P) text(d)P = c text(d)t`

Breuksplitsen `1/((3600 - P)P) = a/(3600 - P) + b/P` .

`a/(3600 - P) + b/P = (aP)/((3600 - P)P) + (b(3600 - P))/((3600 - P)P) = (aP - bP + 3600b)/((3600 - P)P)` .

`aP - bP + 3600b = 1` geeft `a = 1/3600` en `b = 1/3600` .

Integreren: `1/3600 * ln|P/(3600-P)| = ct + C` .

Vervolgens herleiden naar de gewenste vorm.

`P(0) = 3600/(1 + A) = 1200` geeft `A = 2` .

`P(1) = 3600/(1 + 2 * text(e)^(text(-)3600c)) = 1540` geeft `1 + 2 * text(e)^(text(-)3600c) = 3600/1540` en dus `text(-)3600c = ln((3600/1540 - 1)/2)` .

Doen, de grote lijnen staan in het voorbeeld.

`v(0) = 29,4 - A = 2` geeft `A = 27,4` .

`v(t) = 29,4 - 27,4 text(e)^(text(-)1/3 t) = 29,35` geeft `27,4 * text(e)^(text(-)1/3 t) = 0,05` en dus `t ~~ 18,9` s.

Je vindt `v(t) = (mg)/k - A*text(e)^(text(-) k/m * t)`

`v(0) = (mg)/k - A` geeft `A = mg - v(0)` .

`v = (mg)/k` m/s.

Hoe groter `k` , hoe kleiner die grenswaarde.

`v'(t) = 9,8 - k*v(t)` .

Variabelen scheiden: `1/(9,8 - k*v) text(d)v = text(d)t` .

Integreren: `text(-)1/k ln|9,8 - k*v| = t + C`

Algemene oplossing: `v = (9,8)/k - A*text(e)^(text(-)kt)` .

`v(0) = 8` geeft `A = (9,8)/k - 8` .

Dus `v(t) = (9,8)/k - ((9,8)/k - 8) text(e)^(text(-)kt)` .

`v(6) = 15` geeft `(9,8)/k - ((9,8)/k - 8) text(e)^(text(-)6k) = 15` . Los dit op met de GR.

`v'(t) = text(-)9,8 - 2 v(t)` .

Variabelen scheiden: `1/(text(-)9,8 - 2v) text(d)v = text(d)t` .

Integreren: `text(-)1/2 ln|9,8 + 2v| = t + C`

Algemene oplossing: `v = text(-)4,9 + A*text(e)^(text(-)2t)` .

`v(0) = 20` geeft `A = 24,9` .

Dus `v(t) = text(-)4,9 + 24,9 text(e)^(text(-)2t)` .

`v(t) = text(-)4,9 + 24,9 text(e)^(text(-)2t) = 0` geeft `t = text(-) 1/2 ln((4,9)/(24,9)) ~~ 0,8` s.

`v'(t) = text(-)9,8` .

Variabelen scheiden: `text(d)v = text(-)9,8 text(d)t` .

Integreren: `v = text(-)9,8t + C`

`v(0) = 0` geeft `C = 0` .

Dus `v(t) = text(-)9,8t` .

`v(t) = text(-)9,8t` integreren geeft `h(t) = text(-)4,9t^2 + c` .

`h(0) = 110` geeft `c = 110` .

Dus `h(t) = text(-)4,9t^2 + 110` .

Dus `h(t) = text(-)4,9t^2 + 110 = 0` geeft `t ~~ 22,4` s.

Variabelen scheiden, breuksplitsen en integreren.

`H(t) = 400/(1 + A*text(e)^(text(-)0,6t))`

`H(0) = 50` geeft `A = 7` .

Dus `H(t) = 400/(1 + 7*text(e)^(text(-)0,6t))` .

`H(t) = 400/(1 + 7*text(e)^(text(-)0,6t)) = 396` oplossen.

De groeisnelheid `B'(t)` is evenredig met het product van aantal besmette personen `B(t)` en het aantal niet-besmette personen `10 - B(t)` .

D.v.: `B(t) = c * (10 - B(t)) * B(t)`

D.v. oplossen: `B(t) = 10/(1 + A*text(e)^(text(-)t))` .

`B(0) = 0,001` geeft `A = 999` .

Los op: `B(t) = 10/(1 + 999*text(e)^(text(-)t)) = 0,1` . Je vindt `t ~~ 0,47` jaar.

`g ~~ 1,056`

`B(9) ~~ 1,67` m².

`B(12) ~~ 1,96` m².

`B(t) = (1,6)/(1 + 0,6 * text(e)^(text(-)0,24t))`

`B(9) ~~ 1,50` m².

`m * a(t) = m* v'(t) = mg - k * v(t)`

`v(t) = 19,6 - 19,6 * text(e)^(text(-)0,5t)`

`t ~~ 2,77` s.

`19,6` m/s.