Differentiaalvergelijkingen > ToepassingenVoorbeeld 2
Een parachutist met een massa van `m = 60` kg springt met een beginsnelheid van `2` m/s uit een vliegtuig. Hij ondervindt dan de zwaartekracht `F_Z = m*g` richting de aarde en een wrijvingskracht `F_W = k * v(t)` .
Volgens de tweede wet van Newton werkt op hem een kracht van `F = F_Z - F_W = m*g - k*v(t) = m * a(t)` .
Hierin is:
-
`F` de kracht in Newton;
-
`m` de massa in kg;
-
`g ~~ 9,8` de gravitatieconstante in m/s2;
-
`v` de snelheid in m/s;
-
`k` de wrijvingsconstante;
-
`a` de versnelling in m/s2;
Neem aan dat `k = 20` en stel een differentiaalvergelijking op voor de snelheid `v(t)` van deze parachutist zolang hij zijn parachute nog niet heeft uitgeklapt. Bereken welke snelheid deze parachutist maximaal zal halen zonder zijn valscherm te openen.
Omdat `a(t) = v'(t)` wordt de differentiaalvergelijking `m * v'(t) = m * g - k * v(t)` .
Met de gegevens ingevuld: `60 v'(t) = 588 - 20v(t)` ofwel `v'(t) = 9,8 - 1/3 v(t)` .
Je kunt de variabelen scheiden: `1/(9,8 - 1/3 v) text(d)v = text(d)t` .
Door integreren vind je: `text(-)3 ln|9,8 - 1/3 v| = t + C` , waarin `C` een willekeurige constante is.
Dit kun je herleiden naar: `v = 29,4 - A*text(e)^(text(-) 1/3 t)` .
Uit het gegeven dat `v(0) = 2` bepaal je `A = 27,4` .
De volledig oplossing wordt `v(t) = 29,4 - 27,4 text(e)^(text(-)1/3 t)` .
De parachutist zal een snelheid van `29,4` m/s benaderen.
Bekijk het model van de vrije val in
Laat zien hoe je de gevonden differentiaalvergelijking oplost en de oplossing herleid naar de juiste vorm.
Laat zien dat `A = 27,4` .
Na hoeveel seconden heeft de parachutist de snelheid van `29,4` s tot op één decimaal nauwkeurig bereikt?
Bij het algemene model voor de vrije valbeweging hoort de differentiaalvergelijking `m * v'(t) = m * g - k * v(t)`
Los ook deze differentiaalvergelijking op.
Laat zien dat `A = mg - v(0)` .
Welke grenswaarde heeft de snelheid die het vallende voorwerp bereikt?
Welke invloed heeft de luchtweerstand op deze grenswaarde?