Differentiaalvergelijkingen > ToepassingenUitleg
Differentiaalvergelijkingen kennen veel toepassingen, vooral in de natuurkunde en de biologie.
Bijvoorbeeld bij een exponentieel groeiende populatie is de groeisnelheid recht evenredig met de hoeveelheid `N(t)` op een bepaald tijdstip `t` .
Zo'n zin kun je vertalen in een differentiaalvergelijking: `N'(t) = k * N(t)` .
Maar al vroeg in de negentiende eeuw bedacht Pierre François Verhulst (1804—1849), een Belgische wiskundige, dat dit nooit het complete verhaal zou kunnen zijn in de praktijk. Op zeker moment raken gewoon de voorwaarden voor de ongebreidelde groei uitgeput: onvoldoende voedsel, bijvoorbeeld. Hij bedacht dat de evenredigheidsconstante kleiner zou moeten worden naarmate `N(t)` dichter in de buurt van een maximaal mogelijke populatieomvang `M` komt. Hij vertaalde dit in `k = c*(M - N(t))` . Daarmee wordt de differentiaalvergelijking die deze geremde groei beschrijft
`N'(t) = c*(M - N(t))*N(t)`
Het groeimodel van Verhulst heet het logistisch groeimodel.
De bijbehorende differentiaalvergelijking is op te lossen door scheiden van de variabelen. Ga na dat je hem zo kunt schrijven:
`1/((M - N)*N) text(d)N = c text(d)t`
Het probleem is nu dat de primitieve van `1/((M - N)*N)` niet eenvoudig is te vinden. Dat lukt alleen door deze breuk te splitsen in twee eenvoudiger breuken. In de opgaven ga je dat zelf doen. Het richtingsveld met `M = 100` en `c = 0,001` geeft al vast een beeld van de grafieken van de oplossingsfuncties.
In de
Neem
`M = 100`
en
`c = 0,001`
.
Schrijf de differentiaalvergelijking in een vorm waarin de variabelen gescheiden zijn.
Je kunt `1/((100 - N)N)` splitsen in een optelling van twee breuken:
`1/((100 - N)N) = a/(100 - N) + b/N`
Hoe kun je laten zien dat dit waar is en tegelijk de twee juiste waarden van `a` en `b` berekenen?
Bereken de juiste waarden van `a` en `b` .
Gebruik de breuksplitsing die je zojuist hebt uitgevoerd om de differentiaalvergelijking op te lossen. Druk `N` uit in `t` .
Laat zien dat je `N(t)` kunt schrijven als `N(t) = (100)/(1 + C text(e)^(text(-)0,1t))` .
Laat zien dat je de bij e gevonden functies `N(t)` passen in het lijnelementenveld.
Bij het logistisch groeimodel hoort de differentiaalvergelijking `N'(t) = c*(M - N(t))*N(t)` , waarin `c` een constante is.
Laat zien dat de oplossingsfuncties hiervan de vorm `N(t) = (M)/(1 + A text(e)^(text(-)cMt))` hebben.
Laat zien dat `A = (M - N(0))/(N(0))` .
Laat zien dat de functie die je in de voorgaande opgave hebt gevonden overeenkomt met die in a.