Differentiaalvergelijkingen > ToepassingenVoorbeeld 1
Het aantal dieren in een kolonie pinguïns op een afgelegen eiland schommelt al jaren rond de `3600` . Na een grote milieuramp (een gecrashte olietanker) sterft tweederde deel van de populatie uit. De populatie lijkt zich weer snel te gaan herstellen, na een jaar zijn er alweer `1540` pinguïns. Onderzoekers gaan uit van een logistisch groeimodel voor het aantal pinguïns `P(t)` , met `t` in jaren na de milieuramp en met een maximum aantal pinguïns van `3600` . De bijbehorende differentiaalvergelijking is `P'(t) = c*(3600 - P(t)) * P(t)` .
Los deze differentiaalvergelijking op en bereken de juiste waarde van `c` in vijf decimalen nauwkeurig.
Je kunt de differentiaalvergelijking schrijven als `(text(d)P)/(text(d)t) = c(3600 - P)P` .
Je kunt daarom de variabelen scheiden: `1/((3600 - P)P) text(d)P = c text(d)t` .
Door breuksplitsen en integreren vind je: `1/3600 ln|P/(3600-P)| = ct + C` , waarin `C` een willekeurige constante is.
Dit kun je herleiden naar: `y = 3600/(1 + A*text(e)^(text(-)3600t))` .
Uit het gegeven dat `P(0) = 1200` bepaal je `A = 2` .
Uit het gegeven dat `P(1) = 1540` bepaal je `c ~~ 0,00011` .
Bekijk het logistisch groeimodel in
Laat zien hoe je de differentiaalvergelijking door breuksplitsen kunt oplossen.
Laat zien dat `A = 2` .
Laat zien dat `c ~~ 0,00011` .