Differentiaalvergelijkingen > Toepassingen
123456Toepassingen

Uitleg

Differentiaalvergelijkingen kennen veel toepassingen, vooral in de natuurkunde en de biologie.

Bijvoorbeeld bij een exponentieel groeiende populatie is de groeisnelheid recht evenredig met de hoeveelheid op een bepaald tijdstip .

Zo'n zin kun je vertalen in een differentiaalvergelijking: .

Maar al vroeg in de negentiende eeuw bedacht Pierre Fran├žois Verhulst (1804 - 1849), een Belgische wiskundige, dat dit nooit het complete verhaal zou kunnen zijn in de praktijk. Op zeker moment raken gewoon de voorwaarden voor de ongebreidelde groei uitgeput: onvoldoende voedsel, bijvoorbeeld. Hij bedacht dat de evenredigheidsconstante kleiner zou moeten worden naarmate dichter in de buurt van een maximaal mogelijke populatieomvang komt. Hij vertaalde dit in . Daarmee wordt de differentiaalvergelijking die deze geremde groei beschrijft

Het groeimodel van Verhulst heet het logistisch groeimodel.

De bijbehorende differentiaalvergelijking is op te lossen door scheiden van de variabelen. Ga na dat je hem zo kunt schrijven:

Het probleem is nu dat de primitieve van niet eenvoudig is te vinden. Dat lukt alleen door deze breuk te splitsen in twee eenvoudiger breuken. In de opgaven ga je dat zelf doen. Het richtingsveld met en geeft al vast een beeld van de grafieken van de oplossingsfuncties.

Opgave 1

In de uitleg wordt het logistisch groeimodel besproken. De bijbehorende differentiaalvergelijking is , waarin een constante is.
Neem en .

a

Schrijf de differentiaalvergelijking in een vorm waarin de variabelen gescheiden zijn.

Je kunt splitsen in een optelling van twee breuken:

b

Hoe kun je laten zien dat dit waar is en tegelijk de twee juiste waarden van en berekenen?

c

Bereken de juiste waarden van en .

d

Gebruik de breuksplitsing die je zojuist hebt uitgevoerd om de differentiaalvergelijking op te lossen. Druk uit in .

e

Laat zien dat je kunt schrijven als .

f

Laat zien dat je de bij e gevonden functies passen in het lijnelementenveld.

Opgave 2

Bij het logistisch groeimodel hoort de differentiaalvergelijking , waarin een constante is.

a

Laat zien dat de oplossingsfuncties hiervan de vorm hebben.

b

Laat zien dat .

c

Laat zien dat de functie die je in de voorgaande opgave hebt gevonden overeen komt met die in a.

verder | terug