Differentiaalvergelijkingen > Toepassingen
123456Toepassingen

Verkennen

Opgave V1

Bij het standaard exponentiële groeimodel past een differentiaalvergelijking van de vorm:

Deze differentiaalvergelijking is gewoon een vertaling van "de snelheid waarmee de hoeveelheid met de tijd toeneemt is recht evenredig met die hoeveelheid zelf" .

a

Welke oplossingen heeft zo'n differentiaalvergelijking? En hoe bepaal je die?

De Belgische wiskundige P. F. Verhulst (1804 - 1849) constateerde dat het standaard exponentiële groeimodel uiteindelijk nooit kan voldoen. Op zeker moment wordt de hoeveelheid zo groot, dat de zaken die nodig zijn om de groeisnelheid recht evenredig te laten blijven met de hoeveelheid, gewoon op raken. Hij bedacht dat ook de constante moest afhangen van : hoe dichter bij de maximaal mogelijke hoeveelheid komt, hoe kleiner .

b

Leg uit dat hieraan voldoet.

c

De differentiaalvergelijking die Verhulst bedacht is dus . Probeer om deze differentiaalvergelijking op te lossen.

verder | terug