Variabelen scheiden: `y text(d)y = 2 text(d)x`

Integreren: `1/2 y^2 = 2x + c` .

`y(1) = 3` geeft `c = 2,5` .

Oplossing: `y^2 = 4x + 5` , een parabool.

Dit is een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde, dus substitutie `H = A * text(e)^(kt)` .

Karakteristieke vergelijking: `k^2 - 6k + 8 = 0` geeft `k_1 = 2` en `k_2 = 4` .

De oplossing heeft de vorm `H = A_1 * text(e)^(2t) + A_2 * text(e)^(4t)` .

`H(0) = 40` geeft `A_1 + A_2 = 40` .

`H'(0) = 0` geeft `2A_1 + 4A_2 = 0` .

Dus `A_1 = 80/3` en `A_2 = text(-) 40/3` .

Oplossing: `H = 80/3 * text(e)^(2t) - 40/3 * text(e)^(4t)` .

`f(x) = x` .

Alleen de vierde.

Substitueer `y = x - c*text(e)^x` en zijn afgeleide in de d.v. en laat zien dat er een gelijkheid ontstaat voor elke waarde van `x` .

`m * a(t) = m * v'(t) = m*g - 4/3pi r^3 rho g - 6pi eta r * v(t)` of korter: `v'(t) = g - 4/3 pi r^3 rho * g/m - 6pi eta * r/m * v(t)` .

Het deeltje gaat bewegen en daardoor neemt de wrijvingskracht toe. Als de resulterende kracht nul is dan is de versnelling nul en beweegt het deeltje met constante snelheid, hier `0,2` m/s.

Dus: `0 = 9,8 - 4/3 pi * 0,02^3 * 1,26 * 10^3 * (9,8)/(0,05) - 6pi eta * (0,02)/(0,05) * 2` .

Hieruit volgt: `eta ~~ 1,03` .

De mate van temperatuurstijging is evenredig met `T(t)` en met `20 - T(t)` , dus `T'(t) = k(20-T(t))T(t)` met `k ge 0` .

De mate van temperatuurafname is evenredig met het verschil tussen binnen- en buitentemperatuur, `T'(t) = c*(T(t) - 0)` met `c le 0` .

In totaal geldt dus `T'(t) = k(20-T(t))T(t) + c*T(t)` .

Na invullen krijg je `T'(t) = 2T(t)(15 - T(t))` en zo'n d.v. beschrijft een logistisch groeimodel.

Na variabelen scheiden en breuksplitsen krijg je `T(t) = 15/(1 + a*text(e)^(text(-) 2/15 t))` .

`T(0) = 10` geeft `a = 0,5` .

`15`  °C dus de streeftemperatuur wordt bij lange na niet gehaald.

De inhoud van de kamer is `80` m³, dus `80000` dm³; `14` % van de lucht bestaat uit zuurstof. Dus `H(0) = 11200` dm³ zuurstof in de kamer.

Elke seconden wordt `10` dm³ weggehaald, dat is `1/8000 = 0,000125` deel van `H(t)` .
Daarvoor in de plaats komt `0,22*10 = 2,2` dm³ zuurstof.

Dus `Delta H = (2,2 - 0,000125H(t))*Delta t` en hieruit volgt de d.v. als `Delta t rarr 0` .

Na variabelen scheiden en integreren krijg je `H(t) = 17600 - K*text(e)^(text(-) 0,000125 t)` .

`H(0) = 11200` geeft `K = 6400` .

Na ongeveer `11900` s dus na ongeveer `3` uur en `5` minuten.

Eigen antwoord, experimenteer even.

Variabelen scheiden en integreren: `int y text(d)y = int ax text(d)x` .

Dit geeft `1/2 y^2 = 1/2ax^2 + k` , ofwel `ax^2 - y^2 = c` waarin `c=text(-)2k` een constante is.

Er zijn nu diverse mogelijkheden, afhankelijk van de waarden van `a` (en `c` . Maak een overzicht.

Ze hebben de gedaante `y = c*x` , want alleen dan wordt `(text(d)y)/(text(d)x) = (ax)/(cx) = a/c` een constante.

`(text(d)y)/(text(d)x) = (1-x)/(4text(e)^y(text(e)^y - 1)) gt 0` als

• `1-x gt 0 ^^ text(e)^y - 1 gt 0` , ofwel `x lt 1 ^^ y gt 0`

• `1-x lt 0 ^^ text(e)^y - 1 lt 0` , ofwel `x gt 1 ^^ y lt 0`

Voor `K` geldt `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(t))/(x'(t)) = (text(-)sin(t))/(2cos(t)(1+cos(t)))` .

Vul de uitdrukkingen voor `x` , `y` en `(text(d)y)/(text(d)x)` in `D` in:

`4(1+cos(t))cos(t)*(text(-)sin(t))/(2cos(t)(1+cos(t))) = text(-)2sin(t)` klopt voor elke `t` .

Variabelen scheiden en integreren: `int (4text(e)^(2y) - 4text(e)^y) text(d)y = int (1-x) text(d)x` .

Dit geeft: `2text(e)^(2y) - 4text(e)^y = x - 1/2 x^2 + c` .

Oplossingskromme door `(text(-)2, ln(3))` betekent `c=10` .

Dus `L` : `2text(e)^(2y) - 4text(e)^y = x - 1/2 x^2 + 10` .

`(text(d)y)/(text(d)x) = (x-1)(x-3)(y-1) = 0` als `x=1 vv x=3 vv y=1` .

Dit verdeelt het `Oxy` -vlak in zes gedeelten. Kies in elk van die delen een punt om na te gaan of de hellingen er positief of negatief zijn.

In `(0, 2)` geldt `(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)1 * text(-)3 * 1 = 3` .

De r.c. is daar dus `3` . Uitgaande van een cartesisch assenstelsel is dan `tan(alpha) = 3` waarin `alpha` de hoek met de positieve `x` -as is.

Dit geeft `alpha ~~ 72^@` en dus is de gevraagde hoek `~~ 18^@` .

Variabelen scheiden: `1/(y-1) text(d)y = (x^2 - 4x + 3)text(d)x` .

Integreren geeft: `ln| y - 1 | = 1/3 x^3 - 2x^2 + 3x + c` .

Oplossingskromme door `0, 2)` betekent `c=0` .

Dus: `f(x) = 1 + text(e)^(1/3 x^3 - 2x^2 + 3x)` .