Differentiaalvergelijkingen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

Variabelen scheiden: `y text(d)y = 2 text(d)x`

Integreren: `1/2 y^2 = 2x + c` .

`y(1) = 3` geeft `c = 2,5` .

Oplossing: `y^2 = 4x + 5` , een parabool.

b

Dit is een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde, dus substitutie `H = A * text(e)^(kt)` .

Karakteristieke vergelijking: `k^2 - 6k + 8 = 0` geeft `k_1 = 2` en `k_2 = 4` .

De oplossing heeft de vorm `H = A_1 * text(e)^(2t) + A_2 * text(e)^(4t)` .

`H(0) = 40` geeft `A_1 + A_2 = 40` .

`H'(0) = 0` geeft `2A_1 + 4A_2 = 0` .

Dus `A_1 = 80/3` en `A_2 = text(-) 40/3` .

Oplossing: `H = 80/3 * text(e)^(2t) - 40/3 * text(e)^(4t)` .

Opgave 2
a

`f(x) = x` .

b

Alleen de vierde.

c

Doen, substitueer `y = x - c*text(e)^x` en zijn afgeleide in de d.v.

Opgave 3
a

`m * a(t) = m * v'(t) = m*g - 4/3pi r^3 rho g - 6pi eta r * v(t)` of korter: `v'(t) = g - 4/3 pi r^3 rho * g/m - 6pi eta * r/m * v(t)` .

b

Het deeltje gaat bewegen en daardoor neemt de wrijvingskracht toe. Als de resulterende kracht nul is dan is de versnelling nul en beweegt het deeltje met constante snelheid, hier `0,2` m/s.

Dus: `0 = 9,8 - 4/3 pi * 0,02^3 * 1,26 * 10^3 * (9,8)/(0,05) - 6pi eta * (0,02)/(0,05) * 2` .

Hieruit volgt: `eta ~~ 1,03` .

Opgave 4
a

De mate van temperatuurstijging is evenredig met `T(t)` en met `20 - T(t)` , dus `T'(t) = k(20-T(t))T(t)` met `k ge 0` .

De mate van temperatuurafname is evenredig met het verschil tussen binnen- en buitentemperatuur, `T'(t) = c*(T(t) - 0)` met `c le 0` .

In totaal geldt dus `T'(t) = k(20-T(t))T(t) + c*T(t)` .

b

Na invullen krijg je `T'(t) = 2T(t)(15 - (T(t))` en zo'n d.v. beschrijft een logistisch groeimodel..

c

Na variabelen scheiden en breuksplitsen krijg je `T(t) = 15/(1 + a*text(e)^(text(-) 2/15 t))` .

`T(0) = 10` geeft `a = 0,5` .

d

`15^@` C dus de streeftemperatuur wordt bij lange na niet gehaald.

Opgave 5
a

De inhoud van de kamer is `80` m3, dus `80000` dm3; `14` % van de lucht bestaat uit zuurstof. Dus `H(0) = 11200` dm3 zuurstof in de kamer.

b

Doen.

c

Na variabelen scheiden en integreren krijg je `H(t) = 17600 - K*text(e)^(text(-) 0,000125 t))` .

`H(0) = 11200` geeft `K = 6400` .

d

Na ongeveer `11900` s dus na ongeveer `3` uur en `5` minuten.

Opgave 6Oplossingskrommen
Oplossingskrommen
a

Eigen antwoord.

b

Eigen antwoord.

c

`y = c*x`

verder | terug