Differentiaalvergelijkingen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Los deze differentiaalvergelijkingen op:

a

`(text(d)y)/(text(d)x) = 2/y` met `y(1) = 3`

b

`H"(t) = 6H'(t) - 8H(t)` met `H(0) = 40` en `H'(0)=0`

Opgave 2

Hier zie je een richtingsveld (lijnelementenveld) bij een differentiaalvergelijking.

a

Een bepaalde oplossing van deze differentiaalvergelijking heeft een rechte lijn als grafiek. Geef het bijbehorende functievoorschrift.

b

Welke van de volgende differentiaalvergelijkingen past bij dit richtingsveld?

  • `y' = text(-)1 + x`

  • `y' + y = text(-)1 + x`

  • `f '(x) * f(x) = x`

  • `f '(x) = f(x) + 1 - x`

c

Laat zien dat de functies `f(x) = x - c*text(e)^x` oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking.

Opgave 3

Op een bolvormig kogeltje met straal `r` , dat in een vloeistof zinkt, werken drie krachten:

  • de zwaartekracht `F_(text(Z)) = m*g` waarin `m` de massa (in kg) en `g ~~ 9,8` de gravitatieconstante is;

  • de opwaartse kracht `F_(text(op))` , een kracht die volgens de wet van Archimedes gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof, in formulevorm: `F_(text(op)) = 4/3 pi r^3 rho g` waarin `rho` de dichtheid van de vloeistof voorstelt;

  • de wrijvingskracht `F_(text(W))` , een kracht die volgens de wet van Stokes recht evenredig met de snelheid `v` is en wordt gegeven door de formule: `F_(text(W)) = 6pi eta r` , waarin `eta` een constante is die bepaald wordt door de "stroperigheid" van de vloeistof ( `eta` heet de viscositeit).

`r` is de straal van de bolvormige kogel in m.

a

Stel een differentiaalvergelijking voor de snelheid `v(t)` van het zinkende kogeltje.

b

Ga uit van de volgende gegevens en bereken de viscositeit `eta` van de vloeistof.

  • `rho = 1,26 * 10^3` kg/m3;

  • `r = 0,02` m;

  • `m = 0,05` kg;

  • de kogel benadert een eindsnelheid van `0,2` m/s.

Opgave 4

Stel je een winter voor met een constante buitentemperatuur van `0^@` C. De binnentemperatuur T in een gebouw wil je toch op `20^@` C brengen. Je mag daarbij aannemen dat de mate waarmee de binnentemperatuur afneemt evenredig is met het verschil tussen binnen- en buitentemperatuur (noem de evenredigheidsconstante `c` ). Door het stoken zal de binnentemperatuur stijgen. Veronderstel dat de mate van deze stijging evenredig is met de binnentemperatuur zelf en ook evenredig met het verschil tussen de binnentemperatuur en de streeftemperatuur van `20^@` C (noem de evenredigheidsconstante `k` ).

a

Laat zien dat uit deze gegevens de volgende differentiaalvergelijking is af te leiden: `T'(t) = (c + 20k)*T(t) - k*(T(t))^2` .

Neem `c = text(-)10` en `k = 2` .

b

Is er sprake van een logistisch groeimodel?

Op `t = 0` is de binnentemperatuur `10^@` C.

c

Geef een functievoorschrift van `T(t)` door de differentiaalvergelijking uit b op te lossen.

d

Welke temperatuur zal er op den duur in het gebouw heersen? Wordt de streeftemperatuur bereikt?

Opgave 5

Na een langdurige vergadering is het zuurstofgehalte in een vergaderlokaal met een inhoud van `80` m3 gedaald. In `1` m3 zit nog maar `14` % zuurstof terwijl daar normaal gesproken ongeveer `21` % zuurstof in zit. Na de vergadering zet de beheerder snel de ventilator aan. Deze ventilator vervangt per seconde `0,01` m3 lucht door buitenlucht met een zuurstofgehalte van `22` %. Noem `H` de hoeveelheid zuurstof (in dm3) in het lokaal.

a

Bereken `H(0)` .

b

Laat zien dat je `H(t)` bij benadering kunt beschrijven door: `H'(t) = 2,2 - 1,25*10^(text(-)4) * H(t)` met `t` in seconden.

c

Los deze differentiaalvergelijking op.

d

Na hoeveel uren is het zuurstofpercentage boven de `20` %?

verder | terug