Gaat op dezelfde manier.

Z-hoeken zijn hoeken die een lijn `l` maakt met twee evenwijdige lijnen `m` en `n` die niet samenvallen. Z-hoeken zitten tussen de twee evenwijdige lijnen aan weerskanten van `l` , de éne hoek bij het snijpunt met `m` , de andere bij het snijpunt met `n` . Alleen als de lijnen `m` en `n` evenwijdig zijn, zijn de Z-hoeken gelijk.

Noem het lijnstuk `AB` . Teken een halve lijn `l` uit `A` (niet in het verlengde van het lijnstuk). Pas op lijn `l` vanuit `A` vier gelijke stukken af, je krijgt dan achtereenvolgens `AP` , `PQ` , `QR` en `RS` . Verbindt het eindpunt `S` met `B` . Construeer door de punten `P` , `Q` en `R` lijnen evenwijdig aan `SB` (Zie uitleg opgave 3b). De evenwijdige lijnen snijden `AB` . De snijpunten verdelen het lijnstuk `AB` in vier gelijke delen.

Construeer een vierkant en teken een van de diagonalen.

Construeer een gelijkzijdige driehoek en teken de loodlijn uit een van de punten op de overstaande zijde.

Teken een lijn en pas hierop met de passer de zijde `AB` af. Teken een cirkel met middelpunt `A` en straal `AC` en een cirkel met middelpunt `B` en straal `BC` . Als beide cirkels elkaar snijden, is dat hoekpunt `C` van de driehoek, er zijn twee mogelijkheden. Beide cirkels snijden elkaar alleen als `AC+BCgtAB` . Anders bestaat er geen driehoek `ABC` .

Zet twee punten op lijn `l` . Noem de punten `A` en `B` . Teken vervolgens de cirkel met middelpunt `P` en straal `AB` en de cirkel met middelpunt `B` en straal `AP` . Noem het snijpunt waar de cirkels snijden `Q` . De lijn door de punten `P` en `Q` is de gevraagde evenwijdige lijn (vierhoek `ABQP` is een parallellogram).

Zie de figuur, de hoeken bij `C` zijn genummerd.

Je ziet dat `angle C_2 =angleB` (Z-hoeken) en `angle C_3 =angle A` (F-hoeken).
En dus is `angleC_(2,3) =angleA+angleB` .

Ga na dat ditzelfde geldt voor de andere buitenhoeken zoals de hoek tussen `AC` en het verlengde van `BC` .

Q.e.d.

Als elk van de benen van een hoek loodrecht staat op de benen van een andere hoek, zijn de hoeken gelijk.

Het gaat fout als hoekpunt `B` tussen de benen van `angleA` komt te liggen. Dan zijn beide hoeken samen `180 ^@` , want de hoeken van de vierhoek waarvan `A` en `B` hoekpunten zijn, zijn samen `360^@` . `angle A` is dan alleen gelijk aan `angle B` als `angle A=90^@` .

Als een uitspraak in één geval niet klopt, is hij onwaar.

Als elk van de benen van een hoek loodrecht staat op de benen van een andere hoek, zijn de hoeken gelijk of ze zijn samen `180 ^@` .
Het bewijs van deze stelling kun je leveren als je wat meer weet over gelijkvormigheid van driehoeken, daarover gaan de volgende onderdelen.

Zolang er geen bewijs voor een uitspraak is geleverd, heet die uitspraak een vermoeden. Een stelling is een vermoeden waarvan het bewijs is geleverd.

Omdat hier geen sprake van een axioma is (geen uitgangspunt bij de theorieopbouw). En in elke goede theorie moet elk nieuw vermoeden worden bewezen, dus kunnen worden afgeleid uit de axioma's.

Een voorbeeld waarmee je aantoont dat een bepaalde uitspraak onwaar is.

De hoek tussen `s` en `l` is `90^@` en de hoek tussen `m` en `l` ook. Dit zijn twee F-hoeken. Dus de lijnen `s` en `m` zijn evenwijdig.

Zie ook het 5^e axioma.

Als lijn `s` evenwijdig is met `m` , staat lijn `s` ook loodrecht op `l` . De omgekeerde stelling is ook juist.

Als de punten `A` en `D` samenvallen is `angleA` recht en dat is in tegenspraak met het gegeven dat hij stomp is.

Als punt `D` tussen `A` en `B` ligt of met `B` samenvalt of op het verlengde van `AB` ligt, heeft `DeltaCDA` zowel een stompe als een rechte hoek en dat is in tegenspraak met de stelling dat de som van de hoeken in een driehoek `180^@` is.
Punt `D` ligt op het verlengde van `BA` is de enige mogelijkheid die overblijft en die moet dus waar zijn.

Punt `D` ligt op het verlengde van `BA` is de enige mogelijkheid die overblijft en die moet dus waar zijn.

De uitspraak is waar. Hij volgt onmiddellijk uit de bekende stelling van Pythagoras. (Eigenlijk moet je die stelling nog vanuit de axioma's afleiden, het bewijs dat je in opgave 2 tegenkwam vergt meer voorkennis dan je in feite nu vanuit de axioma's hebt afgeleid. Wel hoort de stelling van Pythagoras bij de lijst van stellingen en basisbegrippen waar je in een bewijs op het vwo-examen van uit mag gaan.)

Nee, die uitspraak is niet waar.

Tegenover de langste zijde van een driehoek ligt de grootste hoek.

Door twee punten gaat maar één lijn.

Twee lijnstukken zijn evenwijdig als de lijnen waarop de lijnstukken liggen evenwijdig zijn.

Het zijn Z-hoeken.

Omdat `angleBAC=angleACD` en  `angleACD + angleACB = 90^@` is  `angleBAC+angleACB=90^@` . Omdat ook `angleB=90^@` is de som van de hoeken van de rechthoekige `DeltaABC` gelijk aan `180^@` .

In `DeltaADC` is `angleA+angleD_1 +angleC_1 =180^@` .
In `DeltaBDC` is `angleB+angleD_2 +angleC_2 =180^@` .
Dus is `angleA+angleD_1 +angleC_1 +angleB+angleD_2 +angleC_2 =360^@` . En omdat `angleD_1 +angleD_2 =180^@` (gestrekte hoek) is ook `angleA+angleC_1 +angleB+angleC_2 =angleA+angleB+angleC=180^@`

Neem hoogtelijn `CD` met `D` op het verlengde van `BA` en bekijk de rechthoekige driehoeken `ACD` en `BCD` .
In `DeltaACD` is: `angleA_1 +angleD+angleC_1 =180^@` .
In `DeltaBDC` is: `angleB+angleD+angleC_1 +angleC_2 =180^@` .
Dus is: `angleA_1 +angleD+angleC_1 +angleB+angleD+angleC_1 +angleC_2 =360^@` .

Nu is: `angleA_1 =180^@ -angleA_2` (gestrekte hoek) en `angleC_1 =90^@ -angleA_1 =angleA_2 -90^@` .

Dit geeft: `angleB+angleA_2 +angleC_2 =180^@`

`angle A+angle B_1+angle C=180^@` (hoekensom driehoek), dus: `angle B_1=180^@-angle A-angle C` .

`angle B_1+angle B_2=180^@` (gestrekte hoek) en dus: `angle B_2=180^@-angle B_1=180^@-(180^@-angle A -angle C)=angle A+angle B` .

Stelling buitenhoek van een driehoek.

Een koorde (waar het middelpunt niet op ligt) is korter dan de middellijn van de cirkel.

Gegeven:
`AB` is koorde en `BC` is middellijn.

Te bewijzen:
`AB lt BC` .

Bewijs:
`MA=MB=MC` geeft `angleC=angleA_1` en `angleB=angleA_2` . Omdat `angleA_1 +angleA_2 +angleB+angleC=180^@` , is `angleA_1 +angleA_2 =90^@` . Dit betekent dat `DeltaABC` rechthoekig is en van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden korter dan de schuine zijde.

Het speciale geval is de situatie dat `M` op de koorde ligt. In dat geval zijn koorde en middellijn even lang.