Redeneren en bewijzen > BasisbegrippenVoorbeeld 4
Bij een "bewijs uit het ongerijmde" ga je ervan uit dat wat je wilt bewijzen niet waar is. Daaruit leid je een tegenspraak af met het gegeven of met een al bekende stelling.
Bewijs hiermee: "Als twee lijnen gesneden worden door een derde lijn en de F-hoeken zijn gelijk, dan zijn die twee lijnen evenwijdig."
Bij twee gelijke F-hoeken zijn ook hun overstaande hoeken gelijk.
En de vier nevenhoeken van al die F-hoeken zijn ook gelijk.
De acht hoeken in de figuur zijn dus vier aan vier gelijk.
Neem nu aan dat beide lijnen
`l`
en
`m`
niet evenwijdig zijn, dus elkaar snijden in een punt
`S`
. Kijk naar twee hoeken tussen de twee lijnen en de derde lijn aan de kant waar
`S`
ligt. Die twee hoeken zijn hoeken van driehoek
`ASB`
.
Eén van hen is gelijk aan de nevenhoek van de F-hoek van de andere.
Omdat de F-hoeken gelijk zijn, zijn de twee hoeken samen
`180^@`
.
Maar dat is onmogelijk, omdat het maar twee hoeken van een driehoek zijn en de som
van de hoeken van een driehoek
`180^@`
is. De aanname dat beide lijnen elkaar snijden, is dus onjuist, ze zijn evenwijdig.
Q.e.d.
Bekijk in
Laat zien dat punt `D` niet kan samenvallen met punt `A` . Beschrijf de tegenspraak waar dit toe leidt.
Laat zien dat punt `D` niet tussen `A` en `B` kan liggen of met `B` kan samenvallen of op het verlengde van `AB` kan liggen.
Waarom is hiermee de stelling bewezen?
Uitspraak: "Als de lijnen `m` en `n` evenwijdig zijn met de lijn l, dan zijn `m` en `n` ook evenwijdig aan elkaar."
Dit lijkt een simpele uitspraak. Maar omdat hij niet bij de axioma's hoort, moet je hem daaruit kunnen afleiden. Laat zien hoe. Gebruik een bewijs uit het ongerijmde.