Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen
123456Basisbegrippen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie Voorbeeld 1.
Probeer wel eerst om zelf het bewijs te formuleren.

Opgave 1
a

Gaat op dezelfde manier.

b

Z-hoeken zijn hoeken die een lijn `l` maakt met twee evenwijdige lijnen `m` en `n` die niet samenvallen. Z-hoeken zitten tussen de twee evenwijdige lijnen aan weerskanten van `l` , de éne hoek bij het snijpunt met `m` , de andere bij het snijpunt met `n` . Alleen als de lijnen `m` en `n` evenwijdig zijn, zijn de Z-hoeken gelijk.

Opgave 2
a

De uitspraak is waar. Hij volgt onmiddellijk uit de stelling van Pythagoras. Als een driehoek rechthoekig is, dan is één van de zijden langer dan elk van de andere zijden.

b

Nee, die uitspraak is niet waar. Neem bijvoorbeeld een gelijkbenige driehoek met tophoek `125^circ` , dan is er één zijde langer dan de andere twee zijden, maar de driehoek is niet rechthoekig.

c

Tegenover de langste zijde van een driehoek ligt de grootste hoek.

Opgave 3

Eigen antwoord.

Opgave 4
a

Teken een lijn en pas hierop met de passer de zijde `AB` af. Teken een cirkel met middelpunt `A` en straal `AC` en een cirkel met middelpunt `B` en straal `BC` . Als beide cirkels elkaar snijden, is dat hoekpunt `C` van de driehoek, er zijn twee mogelijkheden. Beide cirkels snijden elkaar alleen als `AC+BCgtAB` . Anders bestaat er geen driehoek `ABC` .

b

Zet twee punten op lijn `l` . Noem de punten `A` en `B` . Teken vervolgens de cirkel met middelpunt `P` en straal `AB` en de cirkel met middelpunt `B` en straal `AP` . Noem het snijpunt waar de cirkels snijden `Q` . De lijn door de punten `P` en `Q` is de gevraagde evenwijdige lijn (vierhoek `ABQP` is een parallellogram).

Opgave 5
a

Zie de figuur, de hoeken bij `C` zijn genummerd.

b

Je ziet dat `angleC_2 =angleB` (Z-hoeken) en `angleC_3 =angleA` (F-hoeken).
En dus is `angleC_(2,3) =angleA+angleB` .

Ga na dat ditzelfde geldt voor de andere buitenhoeken zoals de hoek tussen `AC` en het verlengde van `BC` .

Q.e.d.

Opgave 6

Omdat de lijnen `l` en `m` evenwijdig zijn, moet gelden dat `alpha+beta=180^circ` , want anders snijden ze elkaar volgens het vijfde axioma van Euclides links of rechts van lijn `n` . (Als `alpha+beta gt 180^circ` , dan is `delta+gamma lt 180^circ` . Immers `alpha+beta+gamma+delta=360^circ` (twee keer een gestrekte hoek) en als `alpha+beta gt 180^circ` moet dus wel gelden dat `gamma+delta lt 180^circ` .)

Verder geldt dat `beta +gamma=180^circ` (gestrekte hoek).

Dus `alpha+beta=beta+gamma` en hieruit volgt dat `alpha=gamma` .

Q.e.d.

Op dezelfde manier kun je bewijzen dat `beta=delta` .

Opgave 7
a

Het zijn Z-hoeken.

b

Omdat `angleBAC=angleACD` en  `angleACD + angleACB = 90` ° is  `angleBAC+angleACB=90` °. Omdat ook `angleB=90` ° is de som van de hoeken van de rechthoekige `DeltaABC` gelijk aan `180 ` °.

c

In `DeltaADC` is `angleA+angleD_1 +angleC_1 =180` °
In `DeltaBDC` is `angleB+angleD_2 +angleC_2 =180` °
Dus is `angleA+angleD_1 +angleC_1 +angleB+angleD_2 +angleC_2 =360` °. En omdat `angleD_1 +angleD_2 =180` ° (gestrekte hoek) is ook `angleA+angleC_1 +angleB+angleC_2 =angleA+angleB+angleC=180` °

d

Neem hoogtelijn `CD` met `D` op het verlengde van `BA` en bekijk de rechthoekige driehoeken `ACD` en `BCD` .
In `DeltaACD` is: `angleA_1 +angleD+angleC_1 =180` °
In `DeltaBDC` is: `angleB+angleD+angleC_1 +angleC_2 =180` °
Dus is: `angleA_1 +angleD+angleC_1 +angleB+angleD+angleC_1 +angleC_2 =360` °

Nu is: `angleA_1 =180^° -angleA_2` (gestrekte hoek) en `angleC_1 =90° -angleA_1 =angleA_2 -90` °

Dit geeft: `angleB+angleA_2 +angleC_2 =180` °

Opgave 8
a

Als elk van de benen van een hoek loodrecht staat op de benen van een andere hoek, zijn de hoeken gelijk.

b

Het gaat fout als hoekpunt `B` tussen de benen van `angleA` komt te liggen. Dan zijn beide hoeken samen `180 ` °, want de hoeken van de vierhoek waarvan `A` en `B` hoekpunten zijn, zijn samen `360` °. `angle A` is dan alleen gelijk aan `angle B` als `angle A=90^circ` .

c

Als een uitspraak in één geval niet klopt, is hij onwaar.

d

Als elk van de benen van een hoek loodrecht staat op de benen van een andere hoek, zijn de hoeken gelijk of ze zijn samen `180 ` °.
Het bewijs van deze stelling kun je leveren als je wat meer weet over gelijkvormigheid van driehoeken, daarover gaan de volgende onderdelen.

Opgave 9

Een vierhoek kun je in twee driehoeken verdelen. De hoekensom van een driehoek is `180^circ` , dus de hoekensom van een vierhoek is `360^circ` .

Je kunt een vierhoek maken met drie stompe hoeken. Neem bijvoorbeeld voor drie hoeken `100^circ` en de andere hoek `60^circ` . Dus Bart heeft geen gelijk.

Opgave 10
a

Zolang er geen bewijs voor een uitspraak is geleverd, heet die uitspraak een vermoeden. Een stelling is een vermoeden waarvan het bewijs is geleverd.

b

Omdat hier geen sprake van een axioma is (geen uitgangspunt bij de theorieopbouw). En in elke goede theorie moet elk nieuw vermoeden worden bewezen, dus kunnen worden afgeleid uit de axioma's.

c

Een voorbeeld waarmee je aantoont dat een bepaalde uitspraak onwaar is.

Opgave 11

Omdat overstaande hoeken gelijk zijn geldt dat `alpha=beta` . Je hebt al bewezen dat als een lijn twee evenwijdige lijnen (hier `l` en `m` ) snijdt, dat dan de Z-hoeken gelijk zijn. Dus `beta=gamma` . Hieruit volgt dat `alpha =gamma` en dus zijn ook de F-hoeken gelijk.

Q.e.d.

Opgave 12
a

De hoek tussen `s` en `l` is `90 ` ° en de hoek tussen `m` en `l` ook. Dit zijn twee F-hoeken. Dus de lijnen `s` en `m` zijn evenwijdig.

Zie ook het 5e axioma.

b

Als lijn `s` evenwijdig is met `m` , staat lijn `s` ook loodrecht op `l` . De omgekeerde stelling is ook juist.

Opgave 13
a

Als de punten `A` en `D` samenvallen is `angleA` recht en dat is in tegenspraak met het gegeven dat hij stomp is.

b

Als punt `D` tussen `A` en `B` ligt of met `B` samenvalt of op het verlengde van `AB` ligt, heeft `DeltaCDA` zowel een stompe als een rechte hoek en dat is in tegenspraak met de stelling dat de som van de hoeken in een driehoek `180` ° is.
Punt `D` ligt op het verlengde van `BA` is de enige mogelijkheid die overblijft en die moet dus waar zijn.

c

Punt `D` ligt op het verlengde van `BA` is de enige mogelijkheid die overblijft en die moet dus waar zijn.

Opgave 14

Uit de definitie van evenwijdige lijnen volgt dat als dit niet waar is, `m` en `n` elkaar snijden in een punt `S` . Dan zouden er twee lijnen door `S` gaan die elk evenwijdig zijn met `l` . En dat is volgens axioma 5 onmogelijk.


De uitspraak is daarom algemeen waar, het is een stelling.

Opgave 15

Gegeven is dat de lijnen `l` en `m` evenwijdig zijn.

Stel dat de F-hoeken niet gelijk zijn, dus `angle ABC ne angle BDE` .

`angle DBC=180^circ-angle ABC` (gestrekte hoek).

Nu is de som van de binnenhoeken kleiner of groter dan `180^circ` , want als de som `180^circ` is dan zijn de F-hoeken gelijk. Maar dit betekent dat de lijnen `l` en `m` elkaar moeten snijden (axioma 5). Als de som kleiner is dan `180^circ` moeten ze elkaar aan de rechterkant snijden en als de som groter is dan `180^circ` moeten ze elkaar aan de linkerkant snijden. Dit is in tegenspraak met dat de lijnen `l` en `m` evenwijdig zijn.

Omdat overstaande hoeken van snijdende lijnen gelijk zijn (zie Voorbeeld 3, moet ook gelden dat de Z-hoeken gelijk zijn.

Opgave 16

Omdat `angle ADC=90^circ` geldt `angleA+angleC_1 =180^circ-90^circ=90^circ` (hoekensom driehoek). Omdat ook `angleC_2 +angleC_1 =90^circ` , `angleA+angleC_1 =angleC_2 +angleC_1` , en dus `angleA=angleC_2` .
Op dezelfde manier bewijs je dat `angle B = angle C_1` .

Opgave 17
a

Door twee punten gaat maar één lijn.

b

Twee lijnstukken zijn evenwijdig als de lijnen waarop de lijnstukken liggen evenwijdig zijn.

Opgave 18

Dit is niet waar. Een gelijkbenig trapezium voldoet bijvoorbeeld aan wat er bij de uitspraak staat, maar is geen parallellogram.

Opgave 19
a

`angle A+angle B_1+angle C=180^circ` (hoekensom driehoek), dus: `angle B_1=180^circ-angle A-angle C`

`angle B_1+angle B_2=180^circ` (gestrekte hoek) en dus: `angle B_2=180^circ-angle B_1=180^circ-(180^circ-angle A -angle C)=angle A+angle B`

b

Stelling buitenhoek van een driehoek.

Opgave 20

Stel dat een vijfhoek uit allemaal scherpe hoeken bestaat, dan is de hoekensom kleiner dan `5*90^circ=450^circ` .

Een vijfhoek kun je verdelen in `3` driehoeken. De hoekensom van een driehoek is `180^circ` , dus de hoekensom van een vijfhoek is `540^circ gt 450^circ` . Dit levert een tegenspraak op.

Een vijfhoek heeft dus minimaal één stompe hoek.

Q.e.d.

Opgave 21

Noem het lijnstuk `AB` . Teken een halve lijn `l` uit `A` (niet in het verlengde van het lijnstuk). Pas op lijn `l` vanuit `A` vier gelijke stukken af, je krijgt dan achtereenvolgens `AP` , `PQ` , `QR` en `RS` . Verbind het eindpunt `S` met `B` . Construeer door de punten `P` , `Q` en `R` lijnen evenwijdig aan `SB` . De evenwijdige lijnen snijden `AB` . De snijpunten verdelen het lijnstuk `AB` in vier gelijke delen.

Opgave 22

Neem op de aardbol punt `N` (de noordpool) en de punten `A` en `B` op de evenaar. De lijnen  `NA` en `NB` over het aardoppervlak staan loodrecht op de evenaar. Dus is `angleA=angleB=90` °. Dan moet `angleA+angleB+angleN gt 180` ° zijn.

De aarde is een grote bol en op kleine stukken merk je niet dat je te maken hebt met een bol. Dan lijkt hij gewoon plat. Daarom heeft het lang geduurd voordat men doorhad dat driehoeken op de aarde anders zijn dan op het platte vlak.

(Eigenlijk is de aarde niet helemaal een bol. Bij de polen is hij afgevlakt.)

Opgave 23

Gegeven:
`angleA` is een stompe hoek in `DeltaABC` .

Te bewijzen:
`angleB` en `angleC` zijn scherp.

Bewijs:
Neem aan dat `angleB` niet scherp is, dan is de som `angleA+angleB+angleC` meer dan `180 ` °. Neem aan dat `angleC` niet scherp is, dan is de som `angleA+angleB+angleC` meer dan `180 ` °. Dit leidt in beide gevallen tot een tegenspraak, dus `angleB` en `angleC` zijn beide scherp.

Opgave 24
a

Een koorde (waar het middelpunt niet op ligt) is korter dan de middellijn van de cirkel.

b

Gegeven:
`AB` is koorde en `BC` is middellijn.

Te bewijzen:
`AB lt BC` .

Bewijs:
`MA=MB=MC` geeft `angleC=angleA_1` en `angleB=angleA_2` . Omdat `angleA_1 +angleA_2 +angleB+angleC=180` °, is `angleA_1 +angleA_2 =90` °. Dit betekent dat `DeltaABC` rechthoekig is en van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden korter dan de schuine zijde.

c

Het speciale geval is de situatie dat `M` op de koorde ligt. In dat geval zijn koorde en middellijn even lang.

verder | terug