Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen
123456Basisbegrippen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie Voorbeeld 1.
Probeer wel eerst om zelf het bewijs te formuleren.

Opgave 1
a

Gaat op dezelfde manier.

b

Z-hoeken zijn hoeken die een lijn maakt met twee evenwijdige lijnen en die niet samenvallen. Z-hoeken zitten tussen de twee evenwijdige lijnen aan weerskanten van , de éne hoek bij het snijpunt met , de andere bij het snijpunt met . Alleen als de lijnen en evenwijdig zijn, zijn de Z-hoeken gelijk.

Opgave 2

Eigen antwoord, zie bijvoorbeeld bij Pythagoras.

Opgave 3
a

Noem het lijnstuk . Teken een halve lijn uit (niet in het verlengde van het lijnstuk). Pas op lijn vanuit vier gelijke stukken af, je krijgt dan achtereenvolgens , , en . Verbindt het eindpunt met . Construeer door de punten , en lijnen evenwijdig aan (Zie uitleg opgave 3b). De evenwijdige lijnen snijden . De snijpunten verdelen het lijnstuk in vier gelijke delen.

b

Construeer een vierkant en teken een van de diagonalen.

c

Construeer een gelijkzijdige driehoek en teken de loodlijn uit een van de punten op de overstaande zijde.

Opgave 4
a

Teken een lijn en pas hierop met de passer de zijde af. Teken een cirkel met middelpunt en straal en een cirkel met middelpunt en straal . Als beide cirkels elkaar snijden, is dat hoekpunt van de driehoek, er zijn twee mogelijkheden. Beide cirkels snijden elkaar alleen als . Anders bestaat er geen driehoek .

b

Zet twee punten op lijn . Noem de punten en . Teken vervolgens de cirkel met middelpunt en straal en de cirkel met middelpunt en straal . Noem het snijpunt waar de cirkels snijden . De lijn door de punten en is de gevraagde evenwijdige lijn (vierhoek is een parallellogram).

Opgave 5
a

Zie de figuur, de hoeken bij zijn genummerd.

b

Je ziet dat (Z-hoeken) en (F-hoeken).
En dus is .

Ga na dat ditzelfde geldt voor de andere buitenhoeken zoals de hoek tussen en het verlengde van .

Q.e.d.

Opgave 6
a

Als elk van de benen van een hoek loodrecht staat op de benen van een andere hoek, zijn de hoeken gelijk.

b

Het gaat fout als hoekpunt tussen de benen van komt te liggen. Dan zijn beide hoeken samen , want de hoeken van de vierhoek waarvan en hoekpunten zijn, zijn samen . is dan alleen gelijk aan als .

c

Als een uitspraak in één geval niet klopt, is hij onwaar.

d

Als elk van de benen van een hoek loodrecht staat op de benen van een andere hoek, zijn de hoeken gelijk of ze zijn samen .
Het bewijs van deze stelling kun je leveren als je wat meer weet over gelijkvormigheid van driehoeken, daarover gaan de volgende onderdelen.

Opgave 7
a

Zolang er geen bewijs voor een uitspraak is geleverd, heet die uitspraak een vermoeden. Een stelling is een vermoeden waarvan het bewijs is geleverd.

b

Omdat hier geen sprake van een axioma is (geen uitgangspunt bij de theorieopbouw). En in elke goede theorie moet elk nieuw vermoeden worden bewezen, dus kunnen worden afgeleid uit de axioma's.

c

Een voorbeeld waarmee je aantoont dat een bepaalde uitspraak onwaar is.

Opgave 8
a

De hoek tussen en is en de hoek tussen en ook. Dit zijn twee F-hoeken. Dus de lijnen en zijn evenwijdig.

Zie ook het 5e axioma.

b

Als lijn evenwijdig is met , staat lijn ook loodrecht op . De omgekeerde stelling is ook juist.

Opgave 9
a

Als de punten en samenvallen is recht en dat is in tegenspraak met het gegeven dat hij stomp is.

b

Als punt tussen en ligt of met samenvalt of op het verlengde van ligt, heeft zowel een stompe als een rechte hoek en dat is in tegenspraak met de stelling dat de som van de hoeken in een driehoek is.
Punt ligt op het verlengde van is de enige mogelijkheid die overblijft en die moet dus waar zijn.

c

Punt ligt op het verlengde van is de enige mogelijkheid die overblijft en die moet dus waar zijn.

Opgave 10

Uit de definitie van evenwijdige lijnen volgt dat als dit niet waar is, en elkaar snijden in een punt . Dan zouden er twee lijnen door gaan die elk evenwijdig zijn met . En dat is volgens axioma 5 onmogelijk.


De uitspraak is daarom algemeen waar, het is een stelling.

Opgave 11
a

De uitspraak is waar. Hij volgt onmiddellijk uit de bekende stelling van Pythagoras. (Eigenlijk moet je die stelling nog vanuit de axioma's afleiden, het bewijs dat je in opgave 2 tegenkwam vergt meer voorkennis dan je in feite nu vanuit de axioma's hebt afgeleid. Wel hoort de stelling van Pythagoras bij de lijst van stellingen en basisbegrippen waar je in een bewijs op het vwo-examen van uit mag gaan.)

b

Nee, die uitspraak is niet waar.

c

Tegenover de langste zijde van een driehoek ligt de grootste hoek.

Opgave 12

Omdat geldt (hoekensom driehoek). Omdat ook , , en dus .
Op dezelfde manier bewijs je dat .

Opgave 13
a

Door twee punten gaat maar één lijn.

b

Twee lijnstukken zijn evenwijdig als de lijnen waarop de lijnstukken liggen evenwijdig zijn.

Opgave 14
a

Het zijn Z-hoeken.

b

Omdat en  is . Omdat ook is de som van de hoeken van de rechthoekige gelijk aan .

c

In is
In is
Dus is . En omdat (gestrekte hoek) is ook

d

Neem hoogtelijn met op het verlengde van en bekijk de rechthoekige driehoeken en .
In is:
In is:
Dus is:

Nu is: (gestrekte hoek) en

Dit geeft:

Opgave 15
a

(hoekensom driehoek), dus:

(gestrekte hoek) en dus:

b

Stelling buitenhoek van een driehoek.

Opgave 16Verdelen in vier gelijke delen
Verdelen in vier gelijke delen

Noem het lijnstuk . Teken een halve lijn uit (niet in het verlengde van het lijnstuk). Pas op lijn vanuit vier gelijke stukken af, je krijgt dan achtereenvolgens , , en . Verbind het eindpunt met . Construeer door de punten , en lijnen evenwijdig aan . De evenwijdige lijnen snijden . De snijpunten verdelen het lijnstuk in vier gelijke delen.

Opgave 17Driehoeken op een bol
Driehoeken op een bol

Neem op de aardbol punt (de noordpool) en de punten en op de evenaar. De lijnen  en over het aardoppervlak staan loodrecht op de evenaar. Dus is . Dan moet zijn.

De aarde is een grote bol en op kleine stukken merk je niet dat je te maken hebt met een bol. Dan lijkt hij gewoon plat. Daarom heeft het lang geduurd voordat men doorhad dat driehoeken op de aarde anders zijn dan op het platte vlak.

(Eigenlijk is de aarde niet helemaal een bol. Bij de polen is hij afgevlakt.)

Opgave 18

Gegeven:
is een stompe hoek in .

Te bewijzen:
en zijn scherp.

Bewijs:
Neem aan dat niet scherp is, dan is de som meer dan . Neem aan dat niet scherp is, dan is de som meer dan . Dit leidt in beide gevallen tot een tegenspraak, dus en zijn beide scherp.

Opgave 19
a

Een koorde (waar het middelpunt niet op ligt) is korter dan de middellijn van de cirkel.

b

Gegeven:
is koorde en is middellijn.

Te bewijzen:
.

Bewijs:
geeft en . Omdat , is . Dit betekent dat rechthoekig is en van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden korter dan de schuine zijde.

c

Het speciale geval is de situatie dat op de koorde ligt. In dat geval zijn koorde en middellijn even lang.

verder | terug