Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen
123456Basisbegrippen

Voorbeeld 1

Stelling
De som van de hoeken van een driehoek is `180 ` °.

Lever het bewijs van deze stelling.

> antwoord

Bewijs

Trek door (bijvoorbeeld) `C` een lijn evenwijdig aan lijnstuk `AB` . (Dit kan volgens axioma 5)
Je ziet nu bij punt `C` twee nieuwe hoeken ontstaan waarvan `angle A=angle C_1` en `angle B=angle C_3` (Z-hoeken zijn gelijk).

`angle C_1+C_2+C_3=180` ° (gestrekte hoek).

Dus `angleA+ angleB+ angleC_2=180` °

Q.e.d.

of

Quod erad demonstrandum: wat te bewijzen was.

Opgave 5

Bekijk in het voorbeeld het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen `180 ` ° zijn.

a

Teken zelf de figuur bij dit bewijs en verleng zijde `AC` aan de kant van `C` .

Bij punt `C` tref je nu meerdere hoeken aan. `/_ C` zit in de `DeltaABC` en heet daarom een binnenhoek van deze driehoek. De hoek tussen `BC` en het verlengde van `AC` is een buitenhoek van `DeltaABC` . `/_ A` en `/_ B` zijn ook binnenhoeken van de driehoek. Het zijn de niet-aanliggende binnenhoeken van de buitenhoek van `/_ C` .

b

Bewijs de stelling: "In een driehoek is elke buitenhoek gelijk aan de som van de niet-aanliggende binnenhoeken."

Opgave 6

Voor het bewijs in het voorbeeld dat de hoekensom van een driehoek `180^circ` is, wordt gebruikgemaakt van de stelling dat als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dat de Z-hoeken gelijk zijn. Bewijs deze stelling.

Opgave 7

In deze opdracht geef je een ander bewijs voor de stelling dat in een driehoek de som van de hoeken `180 ` ° is. Je bewijst de stelling eerst voor rechthoekige driehoeken en daarna voor een willekeurige driehoek.

a

Teken een rechthoek `ABCD` en teken daarin de diagonaal `AC` . Waarom is `angleCAB=angleACD` ?

b

Bewijs dat in een rechthoekige driehoek de som van de hoeken `180 ` ° is.

c

Teken nu een willekeurige scherphoekige driehoek `ABC` en teken de loodlijn `CD` vanuit `C` op `AB` . In de driehoek heb je twee rechthoekige driehoeken gekregen. Bewijs hiermee, en met het voorgaande, dat de som van de hoeken `180 ` ° is.

d

Je hebt de stelling bewezen voor scherphoekige driehoeken. Geef een bewijs voor stomphoekige driehoeken.

verder | terug