Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen
123456Basisbegrippen

Uitleg

Het bewijs dat de som van de hoeken van een driehoek `180` ° is, wordt vaak als volgt geleverd.

  • Trek door `C` een lijn evenwijdig aan `AB` .

  • Bij `C` vind je dan drie hoeken die samen een gestrekte hoek vormen: een hoek die (Z-hoeken) gelijk is aan `angleA` , en een hoek die (Z-hoeken) gelijk is aan `angleB` .

  • Een gestrekte hoek is `180` ° dus de hoeken `A` , `B` en `C` zijn samen `180` °.

Maar dit "bewijs" rammelt nogal. Wat zijn Z-hoeken? Waarom en wanneer zijn Z-hoeken gelijk? En hoe zit het met een gestrekte hoek? Er worden begrippen gebruikt die kennelijk al eerder aan de orde zijn geweest. En zijn die begrippen ook goed vastgelegd en zijn hun eigenschappen eerst bewezen?
Voor een goed bewijs moet dat in elk geval zeker zijn. Voor een goed bewijs heb je dus nodig:

  • goede afspraken over de betekenis van alle begrippen: goede definities;

  • een aantal goed omschreven uitgangspunten: goede "axioma's" ;

  • goede logische "redeneerregels" die iedereen hanteert.

Opgave 1

Bekijk de uitleg. Je ziet een redenering waaruit blijkt dat de som van de hoeken van een driehoek `180 ` ° is.

a

Laat zien dat deze redenering ook geldt als punt  `angleB` stomphoekig is.

b

Wat zijn Z-hoeken? Waarom is de evenwijdigheid van de lijn door `C` met `AB` belangrijk?

Opgave 2

Als een driehoek rechthoekig is, dan is één van de zijden langer dan elk van de andere twee zijden.

a

Is dat waar?

b

Is het omgekeerde van deze uitspraak waar?

c

Wat kun je over de hoeken van een driehoek zeggen als één van de zijden langer is dan elk van de andere zijden?

Opgave 3

Je kent de stelling van Pythagoras. Zoek een bewijs van die stelling op, bijvoorbeeld via internet.
Probeer dat bewijs zo te formuleren dat je het zelf goed begrijpt. Schrijf een aantal aannames op die in dit bewijs worden gedaan.

Opgave 4

In de Oudheid werden voor constructies alleen een liniaal zonder maatverdeling en een passer gebruikt. Stel je hebt een potlood, een passer, een liniaal zonder maatverdeling en een vel papier waarop drie lijnstukken zijn getekend.

a

Hoe kun je een driehoek tekenen met de drie lijnstukken als zijden? Lukt dat altijd? Wanneer wel en wanneer niet? Als het wel lukt, kun je dan maar één driehoek tekenen of zijn er meer oplossingen mogelijk?

b

Teken een lijn `l` en een punt `P` dat niet op `l` ligt. Construeer de evenwijdige lijn aan `l` door `P` .

verder | terug