Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen
123456Basisbegrippen

Theorie

Een wiskundige theorie bestaat uit:

  • een aantal definities van begrippen;

  • een zo klein mogelijk aantal basisaannames of axioma's;

  • stellingen, dat wil zeggen beweringen die door middel van logisch redeneren kunnen worden afgeleid uit de axioma's. Zo'n logische redenering heet het bewijs van de stelling.

Ook de vlakke meetkunde kent zo'n theorieopbouw die al meer dan 2200 jaar geleden is gestart met de Griek Euclides.
In de vlakke meetkunde heb je basisdefinities en basisbegrippen.

De begrippen punt, lijn, lijnstuk en hoek worden bekend verondersteld.

  • De afstand tussen twee punten `A` en `B` is de lengte van het lijnstuk `AB` , genoteerd als `|AB|` , als `AB` of als `d(A,B)` (de d van "distance" ).

  • Een cirkel bestaat uit alle punten op een bepaalde afstand van een vast punt, het middelpunt.

  • Een halve lijn is het deel van een lijn aan één kant van een punt op die lijn, inclusief dat punt (de benen van een hoek zijn halve lijnen).

  • Het verlengde van een lijnstuk `AB` is de halve lijn van de lijn door `A` en `B` die in `B` begint en waar `A` niet op ligt (het verlengde van `BA` is een andere halve lijn).

  • Een gestrekte hoek is een hoek ( `180` °) waarvan de benen in elkaars verlengde liggen.

  • Een rechte hoek ( `90 ` °) is de helft van een gestrekte hoek ( `180` °).

  • Twee hoeken die samen een gestrekte hoek vormen, zijn elkaars nevenhoek.

  • Een driehoek bestaat uit drie punten (de hoekpunten), niet op één lijn, en de drie lijnstukken tussen die punten (de zijden). Telkens tussen twee zijden liggen de drie hoeken van de driehoek. Je duidt een driehoek aan met zijn hoekpunten: `DeltaABC` .

  • Twee lijnen snijden elkaar als ze één punt gemeenschappelijk hebben, het snijpunt.

  • Twee lijnen heten evenwijdig als ze elkaar niet snijden (dat wil zeggen geen punt gemeen hebben).

  • De loodlijn uit een punt `P` op een lijn `l` is de lijn door `P` die een rechte hoek maakt met `l` (loodrecht staat op `l` ). Het snijpunt van `l` en de loodlijn `S` is het voetpunt van de loodlijn.

  • De middelloodlijn van een lijnstuk `AB` is de lijn die `AB` loodrecht middendoor snijdt.

De vlakke meetkunde kent vijf axioma's, de befaamde axioma's (aannames) van de Euclidische vlakke meetkunde.

  • Tussen twee willekeurige punten kun je een lijn tekenen.

  • Een lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte lijn.

  • Gegeven een punt `M` en een lijnstuk. Je kunt een cirkel tekenen met middelpunt `M` met een straal gelijk aan het lijnstuk.

  • Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.

  • Als twee lijnen gesneden worden door een derde lijn en de som van de binnenhoeken kleiner is dan `180` °, dan snijden de lijnen elkaar. Zie de figuur.

Met behulp van de axioma's kun je het volgende bewijzen:

Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn zijn de F-hoeken en de Z-hoeken gelijk.

In deze figuur zie je de F-hoek en de Z-hoek.

Omdat het opbouwen van de gehele theorie van de vlakke meetkunde teveel tijd kost, is er voor het leveren van bewijzen een Lijst van definities en stellingen ontwikkeld die als uitgangspunt wordt genomen, en die je dus moet kennen. De schuin gedrukte en onderstreepte termen dienen als verwijzing in een bewijs.

verder | terug