Redeneren en bewijzen > Congruentie
123456Congruentie

Voorbeeld 1

Je ziet een figuur waarmee je de stelling van Pythagoras kunt bewijzen in de rechthoekige driehoek `ABC` . Eerst wordt een vierkant op zijde `AC` geconstrueerd. Daarna wordt de driehoek om `P` (het snijpunt van de diagonalen van het vierkant) over `90` ° gedraaid. Als je dit drie keer doet, ontstaan vier congruente rechthoekige driehoeken.
Belangrijk is dat vanwege de congruentie van de vier driehoeken bij de punten `C` , `C_1` , `C_2` en `A` gestrekte hoeken ontstaan.
Dit komt omdat congruente driehoeken gelijke hoeken hebben.

Vanwege de congruentie geldt: `angle CAB=angle C_1CB_1`

Verder geldt: `angle CAB+90^circ+angle BCA=180^circ` (hoekensom driehoek) en dus `angle CAB+angle BCA=90^circ` .

Uit bovenstaande volgt nu dat `angle BCA+90^circ+angle C_1CB_1=180^circ` , dus de drie hoeken vormen een gestrekte hoek. Op dezelfde manier toon je aan dat dit ook geldt bij de drie hoeken bij de punten `C_1, C_2` en `A` .

Nu weet je dat `BB_1 B_2 B_3` een vierkant is met zijden van `a+b` .
Verder is `C_1 C_2 AC` een vierkant met zijden `c` .
En ten slotte heeft elk van de vier rechthoekige driehoeken een oppervlakte van `1/2ab` .

Ga nu zelf na dat uit `(a+b) ^2=4 *1/2ab+c^2` volgt dat `a^2+b^2=c^2` .

Opgave 3

In het voorbeeld wordt een bewijs voor de stelling van Pythagoras geleverd.

a

Waarom moet worden aangetoond dat `BB_1 B_2 B_3` een vierkant is?

b

Ga de laatste regel van het bewijs ook inderdaad zelf na.

Opgave 4

Definitie: "De afstand tussen twee evenwijdige lijnen is de lengte van een loodlijn die je vanuit een punt op de ene lijn op de andere lijn neerlaat" .
Daar is nog wel wat op aan te merken. Maakt het niets uit waar je dat punt kiest? Maakt het niets uit op welk van de twee lijnen je dat punt kiest? En is dat dan echt de kortste afstand van alle lijnstukjes tussen de twee lijnen?
Noem de lijnen `l` en `m` .

a

Bewijs: als `P` een punt op `l` is en `PQ` de loodlijn vanuit `P` op `m` , dan is `QP` de loodlijn vanuit `Q` op `l` .

b

Bewijs: als `P'` een (ander) punt is op `l` en `P'Q'` de loodlijn vanuit `P'` op `m` , dan zijn `PQ` en `P'Q'` even lang (gebruik een hulplijn).

c

Waarom kun je nu de definitie goedkeuren?

d

Is de zo gedefinieerde afstand tussen twee evenwijdige lijnen ook de kleinst mogelijke afstand tussen een punt op de ene en een punt op de andere lijn? Geef een bewijs. Gebruik de stelling van Pythagoras.

verder | terug