Redeneren en bewijzen > Congruentie
123456Congruentie

Voorbeeld 1

Je ziet een figuur ontstaan waarmee je de stelling van Pythagoras kunt bewijzen in de rechthoekige driehoek `ABC` .

Eerst wordt een vierkant op zijde `AC` geconstrueerd. Daarna wordt de driehoek om `P` (het snijpunt van de diagonalen van het vierkant) over `90^@` gedraaid. Als je dit drie keer doet, ontstaan vier congruente rechthoekige driehoeken.
Belangrijk is dat vanwege de congruentie van de vier driehoeken bij de punten `C` , `C_1` , `C_2` en `A` gestrekte hoeken ontstaan.
Dit komt omdat congruente driehoeken gelijke hoeken hebben.

Vanwege de congruentie geldt: `angle CAB=angle C_1CB_1`

Verder geldt: `angle CAB+90^@+angle BCA=180^@` (hoekensom driehoek) en dus `angle CAB+angle BCA=90^@` .

Uit bovenstaande volgt nu dat `angle BCA+90^@+angle C_1CB_1=180^@` , dus de drie hoeken vormen een gestrekte hoek. Op dezelfde manier toon je aan dat dit ook geldt bij de drie hoeken bij de punten `C_1, C_2` en `A` .

Nu weet je dat `BB_1 B_2 B_3` een vierkant is met zijden van `a+b` .
Verder is `C_1 C_2 AC` een vierkant met zijden `c` .
En ten slotte heeft elk van de vier rechthoekige driehoeken een oppervlakte van `1/2ab` .

Ga nu zelf na dat uit `(a+b) ^2=4 *1/2ab+c^2` volgt dat `a^2+b^2=c^2` .

Opgave 3

In het Voorbeeld 1 wordt een bewijs voor de stelling van Pythagoras geleverd.

a

Waarom moet worden aangetoond dat `BB_1 B_2 B_3` een vierkant is?

b

Ga de laatste regel van het bewijs ook inderdaad zelf na.

verder | terug