Redeneren en bewijzen > BewijzenVoorbeeld 2
Bewijs:
"Het middelpunt van een cirkel door de drie hoekpunten van een stomphoekige driehoek
ligt niet binnen die driehoek."
Gegeven:
`∆ABC`
met
`angleBAC gt 90^@`
.
`MA=MB=MC`
.
Te bewijzen:
`M`
ligt niet binnen
`∆ABC`
.
Bewijs: (indirect)
Stel de stelling is niet waar, dus
`M`
ligt binnen
`∆ABC`
en
`MA=MB=MC`
.
De driehoeken
`ABM`
,
`BCM`
en
`CAM`
zijn dan gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek).
Is nu
`angleABM=angleBAM=α`
,
`angleCBM=angleBCM=β`
en
`angleCAM=angleACM=γ`
, dan is
`2 α+2 β+2 γ=180^@`
(hoekensom driehoek).
Dus
`α+β+γ=90^@`
, zodat
`angle BAC= α+γ lt 90^@`
.
In tegenspraak met wat gegeven is. De stelling is dus waar.
Q.e.d.
In
Hoe construeer je de cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek?
In het computerprogramma GeoGebra kun je de figuren die je bij een bewijs vaak wilt tekenen, gemakkelijk zelf construeren. Vaak kun je dan nog allerlei punten, lijnen en cirkels verplaatsen en bekijken wat daarvan het effect is.
Construeer in GeoGebra nu een driehoek `ABC` en teken een cirkel door de drie hoekpunten. Bepaal het middelpunt `M` van die cirkel en bekijk wat er met `M` gebeurt als je de punten `A` , `B` en/of `C` verplaatst. (Zo maak je zelf de applet in het voorbeeld.)
Kun je nog een andere vergelijkbare stelling formuleren en bewijzen?