Redeneren en bewijzen > BewijzenVoorbeeld 1
In een opgave in de
"Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant
is rechthoekig en gelijkbenig."
Zet dit bewijs in de structuur van Gegeven, Te bewijzen, Bewijs.
Gegeven:
Zie figuur; er zijn letters ingevoerd, de streepjes geven gelijke lijnstukken aan.
`ABCD`
is een vierkant.
`AP=PB`
,
`CQ=QD`
en
`DR=RA`
Te bewijzen:
`PR=QR`
en
`anglePRQ=90 ^@`
.
Bewijs:
Omdat
`AP=QD`
(halve zijde van vierkant
`ABCD`
),
`DR=RA`
(gegeven) en
`angleA=angleD=90 ^@`
zijn driehoeken
`APR`
en
`DQR`
congruent (ZHZ).
Dus is:
`PR=QR`
.
Omdat zowel
`∆APR`
als
`∆DQR`
gelijkbenig en rechthoekig is, is:
`angleARP=angleDRQ=45 ^@`
(hoekensom driehoek)
Dus is:
`anglePRQ=180 -45 -45 =90^@`
.
Q.e.d.
In
Hoe wordt in dit bewijs gebruik gemaakt van "Lijst van definities/stellingen in de vlakke meetkunde voor vwo wiskunde D" ?
Loop dit bewijs zelf na. Zorg ervoor dat je elke stap begrijpt.
In
Schrijf `a` als de lengte van de zijden van het vierkant en bewijs dat `PR^2=QR^2=1/2a^2` .
Bewijs dat `PQ=a` .
Bewijs nu met behulp van de omgekeerde stelling van Pythagoras dat `Delta RPQ` rechthoekig is.