Redeneren en bewijzen > BewijzenVoorbeeld 3
Je ziet hoe de kortste weg van punt
`A`
naar punt
`B`
via de beek wordt geconstrueerd door een loodlijn door
`B`
op de beek te trekken. Vervolgens een punt
`D`
te tekenen dat op die loodlijn en even ver van de beek ligt. Het snijpunt
`C`
van
`AD`
en de beek levert de kortste route
`AC + CB`
.
Bewijs dat deze constructie juist is.
Gegeven:
Uit de constructie volgt dat
`BD`
loodrecht staat op de beek, dus
`angleBEC=angleDEC=90 `
°. Verder is
`BE=ED`
en lijn
`AD`
een rechte lijn.
Te bewijzen:
`AC+CB`
is de kortste afstand van
`A`
naar
`B`
via de beek.
Bewijs:
Uit de gegevens volgt meteen dan
`∆CBE`
en
`∆CDE`
congruent zijn (ZHZ).
Dus is
`CD=CB`
.
De punten
`A`
,
`C`
en
`D`
liggen op de rechte lijn
`AD`
en dus is
`AC+CD`
de kortste afstand van
`A`
naar
`D`
. Immers als je via een ander punt dan
`C`
gaat, zeg
`C_1`
, dan is
`AD`
altijd korter dan
`AC_1+C_1D`
(driehoeksongelijkheid).
Dus
`AC+CB=AC+CD`
is de kortste afstand.
Q.e.d.
In
Loop dit bewijs nog eens na, maak de constructie met GeoGebra.
Gegeven is rechthoek `ABCD` met diagonaal `AC` . Bewijs dat de loodlijn uit punt `D` op `AC` gelijk is aan de loodlijn uit punt `B` op `AC` .
Teken een geschikte figuur of construeer hem in GeoGebra. Teken beide loodlijnen erin, noem ze `DE` en `BF` .
Welke lijnstukken in je figuur moeten nu gelijk zijn?
Kun je geschikte congruente driehoeken vinden?
Formuleer nu een volledig en duidelijk bewijs.