Redeneren en bewijzen > Bewijzen
123456Bewijzen

Uitleg

In deze figuur is een vierkant `ABCD` geconstrueerd. De punten `P` , `Q` en `R` zijn de middens van drie zijden van het vierkant. Je "ziet" dat `Delta PQR` een gelijkbenige rechthoekige driehoek is.

Het volgende "vermoeden" ontstaat:

"Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig."

Maar kun je dat ook echt bewijzen?

Om zo'n bewering (vermoeden) te bewijzen is het verstandig om eerst de gegevens netjes op een rijtje te zetten en letters in te voeren. In de figuur is dat al gedaan. Gegeven is: `ABCD` is vierkant en `AP=PB` , `CQ=QD` en `DR=RA` . Voor het gemak zijn de absoluutstrepen weggelaten.

Te bewijzen is nu dat `PR=QR` en `anglePRQ=90^@` .
Nu kun je over het bewijs gaan nadenken.

Ga uit van de Lijst van definities en stellingen voor vlakke meetkunde.

Bij bewijzen in de vlakke meetkunde kun je vaak goed gebruik maken van "GeoGebra" , een computerprogramma dat je gratis kunt downloaden en speciaal bedoeld is voor de vlakke meetkunde.

Opgave 1

In de Uitleg  wordt de bewijsstructuur "Gegeven, te bewijzen, bewijs" ingeleid.

a

Wat is het verschil tussen de stelling zelf en de beschrijving ervan onder de kopjes "Gegeven" en "Te bewijzen" ?

b

Wat is het belang van zo'n vaste bewijsstructuur?

Opgave 2

In de Uitleg  wordt een begin gemaakt met het bewijs van de stelling: "Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig."

a

Laat zien dat de driehoeken `APR` en `DQR` congruent zijn.

b

Leg uit hoe je daaruit het bewijs levert.

verder | terug