Redeneren en bewijzen > GelijkvormigheidVoorbeeld 3
`∆ABC`
heeft in
`C`
een rechte hoek.
Bewijs dat
`|AC|^2+ |BC|^2= |AB|^2`
. Dit is de stelling van Pythagoras.
Gegeven:
`angleACB=90^@`
. Je tekent hoogtelijn
`CD`
, dus ook
`angleADC=angleCDB=90^@`
.
Te bewijzen:
`|AC|^2+ |BC|^2= |AB|^2`
Bewijs:
De driehoeken
`ABC`
,
`CBD`
en
`ACD`
zijn gelijkvormig (hh). De verhoudingen van hun zijden zijn daarom gelijk, dus je
kunt deze verhoudingstabel maken.
| `DeltaABC` | `|AB|` | `|BC|` | `|AC|` |
| `DeltaCBD` | `|CB|` | `|BD|` | `|CD|` |
| `DeltaACD` | `|AC|` | `|CD|` | `|AD|` |
Hieruit kun je afleiden:
`|BC|^2=|AB|*|BD|`
en
`|AC|^2=|AB|*|AD|`
Dus:
`|AC|^2+ |BC|^2=|AB|*|BD|+|AB|*|AD|=|AB|*(|BD|+|AD|)= |AB|^2`
.
Q.e.d.
Je ziet een geheel nieuw bewijs van de stelling van Pythagoras.
In
Neem aan dat `|AC|=5` en `|BC|=12` . Bereken de lengte van `CD` .
Bewijs dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hoogtelijn op de hypotenusa gelijk is aan het product van de lengtes waarin hij die hypotenusa verdeelt.
Gegeven is een driehoek `ABC` en een punt `S` in de driehoek. `A'` ligt op het verlengde van `AS` , waarbij `|SA'|=2 |SA|` . Net zo ligt `B'` op het verlengde van `BS` met `|SB'|=2 |SB|` en `C'` op het verlengde van `CS` met `|SC'|=2 |SC|` .
Maak een tekening.
Met welk kenmerk kun je aantonen dat `DeltaSAB∼DeltaSA'B'` ?
Wat concludeer je over `|A'B'|` ? Wat gaat natuurlijk net zo?
Met welk kenmerk kun je aantonen dat `DeltaABC∼DeltaA'B'C'` ?
Hoe belangrijk is de factor `2` in het gegeven? Had die factor ook kleiner dan `1` mogen zijn?
Formuleer op grond van het bovenstaande een stelling. Maak hem zo algemeen mogelijk.