Redeneren en bewijzen > GelijkvormigheidAntwoorden van de opgaven
Probeer zelf een overzicht te maken.
Je hebt bij gelijkvormigheid van driehoeken genoeg om aan te tonen dat twee paar hoeken gelijk zijn, want dan is (stelling hoekensom driehoeken) ook het derde paar hoeken gelijk. Dat geldt bijvoorbeeld voor vierhoeken, vijfhoeken, e.d. niet. De gelijkvormigheid van veelhoeken met meer dan drie hoekpunten is ingewikkelder.
Met de factor `(|AB|)/(|AD|) = k` .
Dat komt omdat elke driehoek volledig wordt bepaald door één gegeven zijde en twee gegeven hoeken. Met behulp van goniometrie kun je dan alle andere hoeken en zijden berekenen. Wordt de gegeven zijde `k` keer zo groot gemaakt, dan worden de andere zijden ook `k` keer zo groot. (Als je de sinusregel al kent, is dit onmiddellijk duidelijk.)
Dat komt omdat elke driehoek volledig wordt bepaald door één gegeven hoek en de lengtes van de zijden op de benen van die hoek. Met behulp van goniometrie kun je dan alle andere hoeken en zijden berekenen. Worden de gegeven zijden `k` keer zo groot gemaakt, dan wordt de andere zijde ook `k` keer zo groot. (Als je de sinusregel al kent, is dit onmiddellijk duidelijk.)
Congruente driehoeken zijn ook gelijkvormig, maar het omgekeerde is vrijwel nooit het geval.
Gelijkvormigheidskenmerk hh.
`DeltaBCS` en `DeltaESD` . (Gelijkvormigheidskenmerk hh, met Z-hoeken en/of overstaande hoeken.)
Zie de tabel.
| `DeltaDEC` | `DE` | `EC` | `DC` |
| `DeltaABC` | `AB` | `BC` | `AC` |
Je kunt de lengte van `EC` berekenen, je vindt: `(|EC|) /4=(2,5)/6` .
Dus: `|EC|=1 2/3` .
zhz, want `(|AC|) / (|CD|) = (|BC|) / (|CE|)` en `∠ACB=∠DCE` (overstaande hoeken).
`(|AB|) / (|DE|) =2/5`
`|DE|=5/2*1,8 =4,5`
`|AB|=sqrt(5^2+12^2)=13`
(stelling van Pythagoras).
Ga nu verder vanuit de verhoudingstabel:
| `DeltaABC` | `AB` | `BC` | `AC` |
| `DeltaCBD` | `CB` | `BD` | `CD` |
| `DeltaACD` | `AC` | `CD` | `AD` |
| `DeltaABC` | `13` | `12` | `5` |
| `DeltaCBD` | `12` | `BD` | `CD` |
| `DeltaACD` | `5` | `CD` | `AD` |
`(|CD|) /5=12/13` , dus `|CD|=60/13` .
Gegeven:
`angleACB=90^@` . Je tekent hoogtelijn `CD` , dus ook `angleADC=angleCDB=90^@` .
Te bewijzen:
`|CD|^2=|AD|*|BD|`
Bewijs:
De driehoeken `ABC` , `CBD` en `ACD` zijn gelijkvormig (hh). De verhoudingen van hun zijden zijn daarom gelijk, dus je kunt deze verhoudingstabel maken.
| `DeltaABC` | `AB` | `BC` | `AC` |
| `DeltaCBD` | `CB` | `BD` | `CD` |
| `DeltaACD` | `AC` | `CD` | `AD` |
Uit de verhoudingstabel volgt:
`|CD|^2=|AD|*|BD|`
.
Q.e.d.
Een van de mogelijkheden zie je hier.
`|SA'|=2 |SA|` en `|SB'|=2 |SB|` , dus `(|SA'|) / (|SA|) = (|SB'|) / (|SB|)` .
en `angleASB=angleA'SB'` (overstaande hoeken).
Gelijkvormigheidskenmerk zhz.
`|A'B'|=2 |AB|` en net zo: `|B'C'|=2 |BC|` en `|A'C'|=2 |AC|` .
Gelijkvormigheidskenmerk zzz.
De factor is onbelangrijk, mag ook kleiner dan `1` zijn.
Als je een driehoek met een bepaalde factor vanuit een gegeven punt vergroot, krijg je een nieuwe driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek.
Omdat `angleC=angleC` en `angleBAC=angleDBC` zijn de driehoeken `ABC` en `BDC` gelijkvormig (hh).
`(|DB|) / (|AB|) = (|BC|) / (|AC|)` geeft `(|DB|) /10=5/8` en dus `|DB|=6,25` .
Maak eerst een schets van de situatie:
Omdat `angleEAD=angleBAC` (overstaande hoeken) en `angleEDA=angleBCA` zijn de driehoeken `ABC` en `AED` gelijkvormig (hh).
Daaruit volgt:
`(|AD|) / (|AC|) = (|AE|) / (|AB|)`
geeft
`5/20= (|AE|) /12`
en dus
`|AE|=3`
cm.
Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.
Bewijs:
`∠AES=90 °=∠BDA`
en
`∠ASE=∠BSD`
dus
`ΔASE~ΔBSD`
(hh). Hieruit volgt:
`(|AS|) / (|BS|) = (|SE|) / (|SD|)`
en dus
`|AS|*|SD|=|BS|*|SE|`
. Q.e.d.
Gegeven:
Ruit
`ABCD`
.
`P`
,
`Q`
,
`R`
en
`S`
zijn de middens van de zijden.
Te bewijzen:
`PQRS`
is een rechthoek.
Bewijs:
`DeltaAPS∼DeltaABD`
(
`angleA=angleA`
,
`(|AS|) / (|AD|) = (|AP|) / (|AB|) =1/2`
, dus zhz) betekent dat
`|PS|=1/2|BD|`
en dat
`PS`
en
`BD`
evenwijdig zijn.
Op dezelfde manier bewijs je dit voor
`QR`
en
`BD`
.
Zo bewijs je ook
`|PQ|=|RS|=1/2|AC|`
en
`PQ`
en
`RS`
evenwijdig aan
`AC`
.
Vierhoek
`PQRS`
heeft dus twee paren gelijke en evenwijdige overstaande zijden en is dus een parallellogram
(stelling parallellogram).
Omdat
`AC⊥BD`
(stelling ruit) zijn ook de hoeken van
`PQRS`
recht en is
`PQRS`
een rechthoek (stelling rechthoek).
Q.e.d.
Gegeven:
`DeltaABC`
met
`D`
als midden van
`BC`
,
`E`
als midden van
`AC`
en
`F`
als midden van
`AB`
.
En `ED////AB` , `EF////BC` , en `DF////AC` .
Te bewijzen:
`Delta AFE ≅ Delta FBD ≅ Delta EDC ≅ Delta DEF`
Bewijs:
Omdat
`angleC=angleC`
en
`(|CE|) / (|CA|) = (|CD|) / (|CB|) =1/2`
is
`DeltaEDC∼DeltaABC`
(zhz) met vergrotingsfactor
`0,5`
.
Dit bewijs je op dezelfde manier voor `DeltaFBD` en `DeltaAFE` .
Omdat `AF////ED` , `angleAFE=angleFED` (Z-hoeken) en `angleAEF=angleEFD` (Z-hoeken) is `DeltaDEF≅DeltaAFE` .
Alle vier de driehoeken zijn daarom verkleiningen van
`DeltaABC`
met factor
`0,5`
.
Q.e.d.
`P_6 =P_0`
Gegeven:
In een driehoek `ABC` wordt op `AC` een punt `P_0` gekozen zo, dat `|AP_0 |:|AC|=1 :5` . Dan wordt vanuit `P_0` een lijn evenwijdig aan `BC` getrokken naar `P_1` op `AB` en vervolgens vanuit `P_1` een lijn evenwijdig aan `CA` naar `P_2` op `BC` en vanuit `P_2` een lijn evenwijdig aan `AB` naar `P_3` op `CA` . Met `P_3` in plaats van `P_0` worden net zo weer drie lijnen getrokken, naar `P_4` op `AB` , `P_5` op `BC` en naar `P_6` op `CA` .
Te bewijzen:
`P_6 =P_0`
Bewijs:
`P_0 P_1////BC`
en
`|AP_0 |=1/5|AC|`
betekent
`|AP_1 |=1/5|AB|`
.
`P_1 P_2////AC`
en
`|AP_1 |=1/5|AB|`
betekent
`|CP_2 |=1/5|BC|`
.
Zo is ook:
`|CP_3 |=1/5|AC|`
,
`|BP_4 |=1/5|AB|`
,
`|BP_5 |=1/5|BC|`
en
`|AP_6 |=1/5|AC|=|AP_0 |`
.
Dus moet gelden
`P_6 =P_0`
.
Q.e.d.
Gegeven:
`DeltaABC`
met
`D`
op het verlengde van
`AB`
,
`E`
op
`BC`
en
`F`
het snijpunt van lijn
`DE`
en zijde
`AC`
. (Lijn
`DE`
is lijn
`m`
.)
Te bewijzen:
`(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1`
Bewijs:
Teken lijn
`n`
door
`C`
en evenwijdig
`AB`
.
`G`
is het snijpunt van
`m`
en
`n`
.
Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleECG=angleEBD` (Z-hoeken) is `DeltaGEC∼DeltaDEB` (hh).
Dus `(|CG|) / (|BD|) = (|CE|) / (|BE|)` .
Daaruit volgt: `|CG|=(|CE|) / (|BE|) * |BD|` .
Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleFCG=angleDAF` (Z-hoeken) is `DeltaGFC∼DeltaDFA` (hh).
Dus `(|CF|) / (|AF|) = (|CG|) / (|AD|)` en `|CG| = (|CF|) / (|AF|) * |AD|` .
Hieruit volgt: `(|CF|) / (|AF|) *|AD|= (|CE|) / (|BE|) *|BD|` zodat `((1/|AF|)*|CF|*|AD|)/((1/|BE|)*|CE|*|BD|)=1` .
Dus `(|BE|*|CF|*|AD|)/(|AF|*|CE|*|BD|)=1` en daaruit volgt: `(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1` .
Q.e.d.
Gegeven:
`DeltaABC`
met
`D`
op het verlengde van
`AB`
,
`E`
op het verlengde van
`BC`
en
`F`
het snijpunt van lijn
`DE`
en het verlengde van
`AC`
. (Lijn
`DE`
is lijn
`m`
.)
Te bewijzen:
`(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1`
.
Bewijs:
Teken lijn
`n`
door
`C`
en evenwijdig
`AB`
.
`G`
is het snijpunt van
`m`
en
`n`
.
Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleECG=angleEBD` (F-hoeken) is `DeltaGEC∼DeltaDEB` (hh).
Dus `(|CG|) / (|BD|) = (|CE|) / (|BE|)` .
Daaruit volgt: `|CG|=(|CE|) / (|BE|) * |BD|` .
Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleFCG=angleDAF` (F-hoeken) is `DeltaGFC∼DeltaDFA` (hh).
Dus `(|CF|) / (|AF|) = (|CG|) / (|AD|)` zodat: `|CG| = (|CF|) / (|AF|) * |AD|` .
Hieruit volgt: `(|CF|) / (|AF|) *|AD|= (|CE|) / (|BE|) *|BD|` en `((1/|AF|)*|CF|*|AD|)/((1/|BE|)*|CE|*|BD|)=1` .
Dus `(|BE|*|CF|*|AD|)/(|AF|*|CE|*|BD|)=1` en daaruit volgt: `(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1` .
Q.e.d.
`(|AD|) /6= (|DE|) /3=2/4` , dus `|AD|=3` en `|DE|=1,5` .
Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.
Bewijs:
Omdat
`angleC=angleC`
en
`(|CE|) / (|CA|) = (|CD|) / (|CB|) =1/2`
is
`DeltaABC∼DeltaEDC`
(zhz). Dus is
`ED`
evenwijdig aan
`AB`
en
`(|ED|) / (|AB|) =1/2`
. Omdat
`angleASB=angleDSE`
,
`angleABS=angleDES`
(Z-hoeken) is
`DeltaABS∼DeltaDES`
(hh). Dus is
`(|AS|) / (|DS|) = (|BS|) / (|ES|) = (|ED|) / (|AB|) =1/2`
. Hieruit volgt:
`|AS|:|SD|=|BS|:|SE|=2 :1`
.
Q.e.d.