Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid
123456Gelijkvormigheid

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Probeer zelf een overzicht te maken.

Opgave 1
a

Je zou de driehoeken zo kunnen tekenen.

b

Beide driehoeken zijn nu even groot.

c

Driehoek `ABC` en driehoek `DEF` zijn gelijkvormig (hh). Daarom geldt dat de verhouding tussen de zijden gelijk is: `|DE|/|AB|=|EF|/|BC|=|DF|/|AC|`
Nu geldt dus ook:
`|AB'|=(|DE|)/(|AB|)*|AB|=|DE|`
`|B'C'|=(|DE|)/(|AB|)*|BC|=(|EF|)/(|BC|)*|BC|=|EF|`
`|AC'|=(|DE|)/(|AB|)*|AC|=(|DF|)/(|AC|)*|AC|=|DF|`
De driehoeken `AB'C'` en `DEF` zijn dus congruent volgens congruentiekenmerk ZZZ.

d

Omdat `DeltaDEF≅DeltaAB'C'` en `DeltaAB'C'` een vergroting is van `DeltaABC` zijn deze driehoeken gelijkvormig.

e

Je hebt bij gelijkvormigheid van driehoeken genoeg om aan te tonen dat twee paar hoeken gelijk zijn, want dan is (stelling hoekensom driehoeken) ook het derde paar hoeken gelijk. Dat geldt bijvoorbeeld voor vierhoeken, vijfhoeken en dergelijke niet. De gelijkvormigheid van veelhoeken met meer dan drie hoekpunten is ingewikkelder.

Opgave 2
a

zhz, want `(|AC|) / (|CD|) = (|BC|) / (|CE|)` en `angleACB=angleDCE` (overstaande hoeken).

b

`(|AB|) / (|DE|) =2/5`

c

`|DE|=5/2*1,8 =4,5`

Opgave 3

Congruente driehoeken zijn ook gelijkvormig, maar het omgekeerde is vrijwel nooit het geval.

Opgave 4
a

Gelijkvormigheidskenmerk hh.

b

`DeltaBCS` en `DeltaESD` . (Gelijkvormigheidskenmerk hh, met Z-hoeken en/of overstaande hoeken.)

Opgave 5

Gegeven:
`DeltaABC` met `D` als midden van `BC` , `E` als midden van `AC` en `F` als midden van `AB` .

En `ED////AB` , `EF////BC` , en `DF////AC`

Te bewijzen:
`DeltaAFE≅DeltaFBD≅DeltaEDC≅DeltaDEF`

Bewijs:
Omdat `angleC=angleC` en `(|CE|) / (|CA|) = (|CD|) / (|CB|) =1/2` is `DeltaEDC∼DeltaABC` (zhz) met vergrotingsfactor `0,5` .

Dit bewijs je op dezelfde manier voor `DeltaFBD` en `DeltaAFE` .

Omdat `AF////ED` , `angleAFE=angleFED` (Z-hoeken) en `angleAEF=angleEFD` (Z-hoeken) is `DeltaDEF≅DeltaAFE` .

Alle vier de driehoeken zijn daarom verkleiningen van `DeltaABC` met factor `0,5` .
Q.e.d.

Opgave 6
a

Zie de tabel.

`DeltaDEC` `DE` `EC` `DC`
`DeltaABC` `AB` `BC` `AC`
b

`EC` , je vindt: `(|EC|) /4=(2,5)/6`

Dus: `|EC|=1 2/3`

Opgave 7
a

`|AB|=sqrt(5^2+12^2)=13` (stelling van Pythagoras).
Ga nu verder vanuit de verhoudingstabel:

`DeltaABC` `AB` `BC` `AC`
`DeltaCBD` `CB` `BD` `CD`
`DeltaACD` `AC` `CD` `AD`
`DeltaABC` `13` `12` `5`
`DeltaCBD` `12` `BD` `CD`
`DeltaACD` `5` `CD` `AD`

`(|CD|) /5=12/13` , dus `|CD|=60/13`

b

Gegeven:

`angleACB=90 ` °. Je tekent hoogtelijn `CD` , dus ook `angleADC=angleCDB=90 ` °.

Te bewijzen:

`(|CD|) ^2=|AD|*|BD|`

Bewijs:

De driehoeken `ABC` , `CBD` en `ACD` zijn gelijkvormig (hh). De verhoudingen van hun zijden zijn daarom gelijk, dus je kunt deze verhoudingstabel maken.

`DeltaABC` `AB` `BC` `AC`
`DeltaCBD` `CB` `BD` `CD`
`DeltaACD` `AC` `CD` `AD`

Uit de verhoudingstabel volgt:

`(|CD|) ^2=|AD|*|BD|`  
>Q.e.d.

Opgave 8

Gegeven:

Een willekeurige scherphoekige `DeltaABC` een loodlijn `AD` vanuit `A` op zijde `BC` en een loodlijn `BE` vanuit `B` op zijde `AC` . Het snijpunt van deze loodlijnen is `S` .

Te bewijzen:

`|AS|*|SD|=|BS|*|SE|`

Bewijs:
`angleAES=90 °=angleBDS` en `angleASE=angleBSD` (overstaande hoeken) dus `DeltaASE∼DeltaBSD` (hh). Hieruit volgt: `(|AS|) / (|BS|) = (|SE|) / (|SD|)` en dus: `|AS|*|SD|=|BS|*|SE|`

Q.e.d.

Opgave 9
a

Een van de mogelijkheden zie je hier.

b

`|SA'|=2 |SA|` en `|SB'|=2 |SB|` , dus `((|SA'|)) / ((|SA|)) = ((|SB'|)) / ((|SB|))`

en `angleASB=angleA'SB'` (overstaande hoeken).

Gelijkvormigheidskenmerk zhz.

c

`|A'B'|=2 |AB|` en net zo: `|B'C'|=2 |BC|` en `|A'C'|=2 |AC|`

d

Gelijkvormigheidskenmerk zzz.

e

Factor is onbelangrijk, mag ook kleiner dan `1` zijn.

f

Als je een driehoek met een bepaalde factor vanuit een gegeven punt vergroot, krijg je een nieuwe driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek.

Opgave 10
a

Omdat `angleC=angleC` en `angleBAC=angleDBC` zijn de driehoeken `ABC` en `BDC` gelijkvormig (hh).

b

`|DB|=6,25`

Opgave 11
a

`|AE|=3` cm

b

`|AG|=3` cm.

Opgave 12

Gegeven:

Ruit `ABCD` . `P` , `Q` , `R` en `S` zijn de middens van de zijden.

Te bewijzen:
`PQRS` is een rechthoek.

Bewijs:
`DeltaAPS∼DeltaABD` ( `angleA=angleA` , `(|AS|) / (|AD|) = (|AP|) / (|AB|) =1/2` , dus zhz) betekent dat `|PS|=1/2|BD|` en dat `PS` en `BD` evenwijdig zijn.

Op dezelfde manier bewijs je dit voor `QR` en `BD` .
Zo bewijs je ook `|PQ|=|RS|=1/2|AC|` en `PQ` en `RS` evenwijdig aan `AC` .
Vierhoek `PQRS` heeft dus twee paren gelijke en evenwijdige overstaande zijden en is dus een parallellogram (stelling parallellogram).
Omdat `AC⊥BD` (stelling ruit) zijn ook de hoeken van `PQRS` recht en is `PQRS` een rechthoek (stelling rechthoek).

Q.e.d.

Opgave 13

`FG=1 2/3`

Opgave 14

`3 9/37`

Opgave 15
a

`P_6 =P_0`

b

Gegeven:

In een driehoek `ABC` wordt op `AC` een punt `P_0` gekozen zo, dat `|AP_0 |:|AC|=1 :5` . Dan wordt vanuit `P_0` een lijn evenwijdig aan `BC` getrokken naar `P_1` op `AB` en vervolgens vanuit `P_1` een lijn evenwijdig aan `CA` naar `P_2` op `BC` en vanuit `P_2` een lijn evenwijdig aan `AB` naar `P_3` op `CA` . Met `P_3` in plaats van `P_0` worden net zo weer drie lijnen getrokken, naar `P_4` op `AB` , `P_5` op `BC` en naar `P_6` op `CA` .

Te bewijzen:

`P_6 =P_0`

Bewijs:

`P_0 P_1////BC` en `|AP_0 |=1/5|AC|` betekent `|AP_1 |=1/5|AB|` .
`P_1 P_2////AC` en `|AP_1 |=1/5|AB|` betekent `|CP_2 |=1/5|BC|` .
Zo is ook: `|CP_3 |=1/5|AC|` , `|BP_4 |=1/5|AB|` , `|BP_5 |=1/5|BC|` en `|AP_6 |=1/5|AC|=|AP_0 |` .
Dus moet gelden `P_6 =P_0` . 
Q.e.d.

Opgave 16
a

Gegeven:
`DeltaABC` met `D` op het verlengde van `AB` , `E` op `BC` en `F` het snijpunt van lijn `DE` en zijde `AC` . (Lijn `DE` is lijn `m` .)

Te bewijzen:
`(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1`

Bewijs:
Teken lijn `n` door `C` en evenwijdig `AB` . `G` is het snijpunt van `m` en `n` .


Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleECG=angleEBD` (Z-hoeken) is `DeltaGEC∼DeltaDEB` (hh).

`DeltaGEC` `GE` `EC` `GC`
`DeltaDEB` `DE` `EB` `DB`

Dus `(|CG|) / (|BD|) = (|CE|) / (|BE|)`

Daaruit volgt: `|CG|=(|CE|) / (|BE|) * |BD|`

Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleFCG=angleDAF` (Z-hoeken) is `DeltaGFC∼DeltaDFA` (hh).

`DeltaGFC` `GF` `FC` `GC`
`DeltaDFA` `DF` `FA` `DA`

Dus `(|CF|) / (|AF|) = (|CG|) / (|AD|)`

Daaruit volgt: `|CG| = (|CF|) / (|AF|) * |AD|`


Hieruit volgt: `(|CF|) / (|AF|) *|AD|= (|CE|) / (|BE|) *|BD|`

`((1/|AF|)*|CF|*|AD|)/((1/|BE|)*|CE|*|BD|)=1`

`(|BE|*|CF|*|AD|)/(|AF|*|CE|*|BD|)=1`

daaruit volgt: `(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1`

Q.e.d.

b

Gegeven:
`DeltaABC` met `D` op het verlengde van `AB` , `E` op het verlengde van `BC` en `F` het snijpunt van lijn `DE` en het verlengde van `AC` . (Lijn `DE` is lijn `m` .)

Te bewijzen:
`(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1` .

Bewijs:
Teken lijn `n` door `C` en evenwijdig `AB` . `G` is het snijpunt van `m` en `n` .

Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleECG=angleEBD` (F-hoeken) is `DeltaGEC∼DeltaDEB` (hh).

`DeltaGEC` `GE` `EC` `GC`
`DeltaDEB` `DE` `EB` `DB`

Dus `(|CG|) / (|BD|) = (|CE|) / (|BE|)` .

Daaruit volgt: `|CG|=(|CE|) / (|BE|) * |BD|`

Omdat `angleFGC=angleBDE` en `angleFCG=angleDAF` (F-hoeken) is `DeltaGFC∼DeltaDFA` (hh).

`DeltaGFC` `GF` `FC` `GC`
`DeltaDFA` `DF` `FA` `DA`

Dus `(|CF|) / (|AF|) = (|CG|) / (|AD|)`

Daaruit volgt: `|CG| = (|CF|) / (|AF|) * |AD|`


Hieruit volgt: `(|CF|) / (|AF|) *|AD|= (|CE|) / (|BE|) *|BD|`

`((1/|AF|)*|CF|*|AD|)/((1/|BE|)*|CE|*|BD|)=1`

`(|BE|*|CF|*|AD|)/(|AF|*|CE|*|BD|)=1`

daaruit volgt: `(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1`

Q.e.d.

Opgave 17

`(|AD|) /6= (|DE|) /3=2/4` , dus `|AD|=3` en `|DE|=1,5` .

Opgave 18

Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.

Bewijs:
Omdat `angleC=angleC` en `(|CE|) / (|CA|) = (|CD|) / (|CB|) =1/2` is `DeltaABC∼DeltaEDC` (zhz). Dus is `ED` evenwijdig aan `AB` en `(|ED|) / (|AB|) =1/2` . Omdat `angleASB=angleDSE` , `angleABS=angleDES` (Z-hoeken) is `DeltaABS∼DeltaDES` (hh). Dus is `(|AS|) / (|DS|) = (|BS|) / (|ES|) = (|ED|) / (|AB|) =1/2` . Hieruit volgt: `|AS|:|SD|=|BS|:|SE|=2 :1` .
Q.e.d.

verder | terug