Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid
123456Gelijkvormigheid

Verwerken

Opgave 10

In deze figuur is `angleBAD=angleDBC` , `|AB|=10` , `|AC|=8` en `|BC|=5` .

a

Welke twee gelijkvormige driehoeken zijn er? Bewijs de gelijkvormigheid.

b

Bereken de lengte van `DB` .

Opgave 11

Op een been van een hoek met hoekpunt `A` ligt een punt `B` en op het andere been ligt een punt `C` . `AB=12` cm en `AC=20` cm. Op het verlengde van `BA` ligt een punt `D` met `AD=5` cm en op het verlengde van `CA` ligt een punt `E` zo, dat `angleEDA=angleBCA` .

a

Bereken de lengte van `AE` .

Op `AB` ligt een punt `F` met `AF=5` cm en op `AC` ligt een punt `G` zo, dat `angleGFA=angleBCA` . Construeer `FG` .

b

Maak een schets van de situatie en bereken de lengte van `AG` .

Opgave 12

Vierhoek `ABCD` is een ruit. De punten `P` , `Q` , `R` en `S` zijn de middens van de zijden van die ruit.

Bewijs met behulp van gelijkvormigheid dat `PQRS` een rechthoek is.

Opgave 13

Je ziet rechthoek `ABCD` met `|AB|=4` , `|AD|=6` . Lijnstuk `EF` is de middenparallel van `Delta ABC` en `G` is het snijpunt van `DF` en `AC` .

Bereken de lengte van `FG` .

Opgave 14

Van driehoek `ABC` is gegeven dat `|AB|=10, |AC|=6` en `|BC|=8` . De punten `P` en `Q` liggen op zijde `AB` , punt `R` ligt op zijde `BC` en `S` ligt op zijde `AC` . Bereken de lengte van vierhoek `PQRS` in het geval het een vierkant is.

Opgave 15

In een driehoek `ABC` wordt op `AC` een punt `P_0` gekozen zo, dat `|AP_0 |:|AC|=1 :5` . Dan wordt vanuit `P_0` een lijn evenwijdig aan `BC` getrokken naar `P_1` op `AB` . Vervolgens vanuit `P_1` een lijn evenwijdig aan `CA` naar `P_2` op `BC` en vanuit `P_2` een lijn evenwijdig aan `AB` naar `P_3` op `CA` . Met `P_3` in plaats van `P_0` worden net zo weer drie lijnen getrokken, naar `P_4` op `AB` , `P_5` op `BC` en naar `P_6` op `CA` .

a

Teken de situatie. Welk vermoeden levert een tekening over de ligging van `P_6` ?

b

Bewijs dat vermoeden.

Aanwijzing: In welke verhouding verdelen de punten `P` de zijden van de driehoek?

Opgave 16

De drie (verlengde) zijden van een driehoek `ABC` worden gesneden door een lijn `m` . Het snijpunt van (het verlengde van) `AB` met `m` is punt `D` , het snijpunt van (het verlengde) van `BC` met `m` is punt `E` en het snijpunt van (het verlengde) van `AC` met `m` is punt `F` .

Bewijs dat nu geldt: `(|AD|) / (|BD|) * (|BE|) / (|CE|) * (|CF|) / (|AF|) =1`

Dit is een variant van een uitgebreidere stelling die wordt toegeschreven aan Menelaos van Alexandrië (70-140 na Chr.).

a

In de getekende situatie ligt alleen `D` op het verlengde van `AB` . Lever eerst voor deze situatie het bewijs.

b

Teken nu een situatie waarin niet alleen `D` op het verlengde van `AB` , maar ook `E` op het verlengde van `BC` en `F` op het verlengde van `AC` ligt. Lever ook voor die situatie een bewijs.

verder | terug