Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid
123456Gelijkvormigheid

Voorbeeld 3

`∆ABC` heeft in `C` een rechte hoek.
Bewijs dat `(AC) ^2+ (BC) ^2= (AB) ^2` . Dit is de stelling van Pythagoras.

> antwoord

Gegeven:
`angleACB=90 ` °. Je tekent hoogtelijn `CD` , dus ook `angleADC=angleCDB=90 ` °.

Te bewijzen:
`(AC) ^2+ (BC) ^2= (AB) ^2`

Bewijs:
De driehoeken `ABC` , `CBD` en `ACD` zijn gelijkvormig (hh). De verhoudingen van hun zijden zijn daarom gelijk, dus je kunt deze verhoudingstabel maken.

`DeltaABC` `AB` `BC` `AC`
`DeltaCBD` `CB` `BD` `CD`
`DeltaACD` `AC` `CD` `AD`

Hieruit kun je afleiden:
`(BC) ^2=AB*BD` en `(AC) ^2=AB*AD`
Dus: `(AC) ^2+ (BC) ^2=AB*BD+AB*AD=AB*(BD+AD)= (AB) ^2` .

Q.e.d.

Je ziet een geheel nieuw bewijs van de stelling van Pythagoras.

Opgave 7

In het voorbeeld vind je een ander bewijs van de stelling van Pythagoras.

a

Neem aan dat `AC=5` en `BC=12` . Bereken de lengte van `CD` .

b

Bewijs dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hoogtelijn op de hypotenusa gelijk is aan het product van de lengtes waarin hij die hypotenusa verdeelt.

Opgave 8

Teken in een willekeurige scherphoekige driehoek `ABC` een loodlijn `AD` vanuit `A` op zijde `BC` en een loodlijn `BE` vanuit `B` op zijde `AC` . Het snijpunt van deze loodlijnen is `S` .

Bewijs dat `|AS|*|SD|=|BS|*|SE|` .

Opgave 9

Gegeven is een driehoek `ABC` en een punt `S` in de driehoek. `A'` ligt op het verlengde van `AS` , waarbij `|SA'|=2 |SA|` . Net zo ligt `B'` op het verlengde van `BS` met `|SB'|=2 |SB|` en `C'` op het verlengde van `CS` met `|SC'|=2 |SC|` .

a

Maak een tekening.

b

Met welk kenmerk kun je aantonen dat `DeltaSAB∼DeltaSA'B'` ?

c

Wat concludeer je over `|A'B'|` ? Wat gaat natuurlijk net zo?

d

Met welk kenmerk kun je aantonen dat `DeltaABC∼DeltaA'B'C'` ?

e

Hoe belangrijk is de factor `2` in het gegeven? Had die factor ook kleiner dan `1` mogen zijn?

f

Formuleer op grond van het bovenstaande een stelling. Maak hem zo algemeen mogelijk.

verder | terug