Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid
123456Gelijkvormigheid

Uitleg

Twee driehoeken heten "gelijkvormig" als de ene driehoek een vergroting of verkleining is van de andere driehoek.
Je ziet twee driehoeken `ABC` en `ADE` .
De hoeken `angleBAC` en `angleDAE` zijn gelijk.
De zijden om die hoek hebben in `DeltaABC` dezelfde verhouding als in `DeltaADE` : `(AB) / (AC) = (AD) / (AE)`

Je kunt nu bewijzen dat beide driehoeken gelijkvormig zijn.
Immers je kunt `AD` vermenigvuldigen met een zodanige factor dat hij gelijk is aan `AB` . Vermenigvuldig je `AE` met dezelfde factor, dan wordt `AE` gelijk aan `AC` . De hoek `angleDAE` laat je hetzelfde. Op grond van gelijkvormigheidskenmerk zhz zijn beide driehoeken dan gelijkvormig. En dus is `DeltaABC` een vergroting van `DeltaADE` .

Het gelijkvormigheidskenmerk dat je nu hebt bewezen is zhz: beide driehoeken hebben een even grote hoek en de zijden die die hoek insluiten, hebben dezelfde verhouding.
Op vergelijkbare wijze kun je nog drie gelijkvormigheidskenmerken afleiden.

Opgave 1

In de uitleg wordt een begin gemaakt met het afleiden van gelijkvormigheidskenmerken.

a

Teken de driehoeken `ABC` en `DEF` zo, dat `angleA=angleD` , `angleB=angleE` en `AB≠DE` .

b

Bekijk nu driehoek `ABC` . Vergroot alle zijden van die driehoek door ze te vermenigvuldigen met `(DE) / (AB)` . Je krijgt dan de driehoek `AB'C'` .

c

Leg uit waarom driehoek `AB'C'` congruent is met driehoek `DEF` .

d

Waarom volgt hieruit dat de driehoeken `ABC` en `DEF` gelijkvormig zijn?

e

Dit gelijkvormigheidskenmerk wordt aangeduid met hh. Waarom niet met hhh?

Opgave 2

Je ziet twee driehoeken, namelijk `DeltaABC` en `DeltaCDE` .

a

Met welk gelijkvormigheidskenmerk toon je aan dat beide gelijkvormig zijn? Je noteert dit zo: `DeltaABC∼DeltaDEC`

b

Wat kun je op grond daarvan zeggen over de zijden `AB` en `DE` ?

c

Neem aan, dat `|AB|=1,8` cm. Hoe lang is dan `DE` ?

Opgave 3

Zijn congruente driehoeken altijd gelijkvormig? Geldt het omgekeerde ook?

verder | terug